直线与圆的方程及应用(编辑修改稿)

直线与圆的方程及应用(编辑修改稿)内容摘要：

3 q2＋ 4＝ q2＋ 3，解得 q＝ 177。 5，所以 Q(177。 5， 0)， 将 M， Q 的坐标代入直线的两点式方程整理得到直线 MQ 的方程为 2x177。 5 5＝ 0. (2) 由 (1)知，利用等面积法得 12|AB| q2＋ 4＝ q2＋ 3 12|AB|＝ q2＋ 3q2＋ 4＝ 1－1q2＋ 4，从而当 q＝ 0 时，动弦 |AB|取到最小值 3. 5. (2020盐城二模 )如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知曲线 C 由圆弧 C1和圆弧 C2相接而成，两相接点 M、 N 均在直线 x＝ 5 上．圆弧 C1的圆心是坐标原点 O，半径为 13；圆弧 C2过点 A(29,0)． (1) 求圆弧 C2的方程； (2) 曲线 C上是否存在点 P，满足 PA＝ 30PO。 若存在，指出有几个这样的点；若不存在，请说明理由； (3) 已知直线 l： x－ my－ 14＝ 0 与曲线 C 交于 E、 F 两点，当 EF＝ 33时，求坐标原点 O到直线 l的距离． 解： (1) 圆弧 C1所在圆的方程为 x2＋ y2＝ 169，令 x＝ 5，解得 M(5,12)， N(5，－ 12)． 则线段 AM 中垂线的方程为 y－ 6＝ 2(x－ 17)， 令 y＝ 0，得圆弧 C2所在圆的圆心为 O2(14,0)． 凤凰 出版传媒集团 版权所有 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话： 02583657815 Mail： 又圆弧 C2所在圆的半径为 r2＝ 29－ 14＝ 15， 所以圆弧 C2的方程为 (x－ 14)2＋ y2＝ 225(x≥ 5)． (2) 假设存在这样的点 P(x， y)，则由 PA＝ 30PO，得 x2＋ y2＋ 2x－ 29＝ 0. 由 x2＋ y2＋ 2x－ 29＝ 0，x2＋ y2＝ 169－ 13≤ x≤ 5， 解得 x＝－ 70(舍 )， 由 x2＋ y2＋ 2x－ 29＝ 0，x－ 142＋ y2＝ 2255≤ x≤ 29， 解得 x＝ 0(舍 )， 综上知，这样的点 P 不存在． (3) 因为 EF＞ r2， EF＞ r1，所以 E、 F 两点分别在两个圆弧上．设点 O 到直线 l 的距离为 d， 因为直线 l恒过圆弧 C2所在圆的圆心 (14,0)，所以 EF＝ 15＋ 132－ d2＋ 142－ d2， 即 132－ d2＋ 142－ d2＝ 18，解得 d2＝ 1 61516 ，所以点 O 到直线 l的距离为 1 6154 . 基础训练 1. π3 2. x－ 2y＝ 0 或 x＋ y－ 3＝ 0 3. 3或－ 3 3 4. (－ 13,13) 解析：圆的半径为 2，圆心 (0,0)到直线 12x－ 5y＋ c＝ 0 的距离小于 1，即 |c|13＜ 1， c 的取值范围是 (－ 13,13)． 例题选讲 例 1 解 ：由题意可设所求的直线方程为 x＋ y＋ m＝ 0，设圆心坐标为 (a,0)，则由题意知：  |a－ 1|2 2＋ 2＝ (a－ 1)2，解得 a＝ 3 或－ 1，又因为圆心在 x 轴的正半轴上，所以 a＝ 3，故圆心坐标为 (3,0)，因为圆心 (3,0)在所求的直线上，所以有 3＋ 0＋ m＝ 0，即 m＝－ 3，故所求的直线方程为 x＋ y－ 3＝ 0. 例 2 点拨：直线与圆相交的问题，要利用图形转化为圆心到直线的距离问题． 解： (1) 圆心 M(－ )． ∴ 圆 M 方程为 (x＋ 1)2＋ (y－ 1)2＝ 2， ∴ 直线 CD 方程为 x＋ y－ a＝ 0. ∵ ⊙ M 与直线 CD 相切， ∴ 圆心 M 到直线 CD 的距离 d＝ |－ a|2 ＝ 2，化简得： a＝ 177。 2(舍去负值 )． ∴ 直线 CD 的方程为 x＋ y－ 2＝ 0. (2) 直线 AB 方程为： x－ y＋ 2＝ 0，圆心 N a2， a2 . ∴ 圆心 N 到直线 AB 距离为  a2－ a2＋ 22 ＝ 2. ∵ 直线 AB 截 ⊙ N 所得弦长为 4， ∴ 22＋ ( 2)2＝ a22.∴ a＝ 177。 2 3(舍去负值 )． ∴ ⊙ N 的标准方程为 (x－ 3)2＋ (y－ 3)2＝ 6. 凤凰 出版传媒集团 版权所有 网站地址：南京市湖南路 1 号 B 座 808 室 联系电话： 02583657815 Mail： (3) 存在．由 (2)知，圆心 N 到直线 AB 距离为 2(定值 )，且 AB⊥ CD 始终成立， ∴ 当且仅当圆 N 半 径 a2＝ 2 2，即 a＝ 4时， ⊙ N上有且只有三个点到直线 AB 的距离为 2. 此时， ⊙ N 的标准方程为 (x－ 2)2＋ (y－ 2)2＝ 8. 变式训练 已知 m∈ R，直线 l： mx－ (m2＋ 1)y＝ 4m 和圆 C： x2＋ y2－ 8x＋ 4y＋ 16＝ 0. (1) 求直线 l斜率的取值范围； (2) 直线 l能否将圆 C 分割成弧长的比值为 12的两段圆弧。 为什么。 点拨：直线与圆相交，用圆心到直线距离 . 已知直线将圆分割弧长的比值，转化为所对的圆心角的比值 ，过圆心作弦的垂线，则垂线段长可求，用圆心到直线的距离即可． 解： (1。