08代数数与超越数(编辑修改稿)

08代数数与超越数(编辑修改稿)内容摘要：

|| qp。 (2) 设 的最小多项式是 f(x)，则 f() = 0，于是，由微分学中值定理可知 )()( )()()(  fqpqpffqpf  ， (3) 169 其中 是介于 与qp之间的某个数，因此，由式 (2)，有 |  |  1。 以 M 表示 f (x)在区间 [||  1, || + 1]中的最大值，则由式 (3)得到 |)(||| 1 qpfMqp  ， (4) 因为 f(x)是不可约多项式，并且 是无理数，所以 d  2，因此 f )(qp 0，从而 dqqpf 1|)(| ， 由此及式 (4)得到式 (1)，证毕。 推论 设 是实无理数，若存在常数 M，有理数列 }{nnqp ，以及递增的实数列 {sn}， sn，使得 nsnnn qMqp  || (5) 对于 n  1 成立，则 是超越数。 证明 若 是代数数，设它的次数是 d，由定理 1，存在常数 c，使得 dnnn qcqp  || 对于所有的 n  1 成立，但是，由于 sn，当 n充分大时，这与式 (5)矛盾 ， 所以 不能是代数数。 证毕。 关于定理 1，有两点说明： (ⅰ ) 定理 1 表明，若 是实的代数无理数，那么，它与有理数的差不能太小。 (ⅱ ) 可以证明，式 (1)右端的因数 q  d能改进为 q  (2 + )，其中  0 是任意常数，但是，不能改进为 q 2。 事实上，在第三章第三节中我们知道：对于任何无理数 ，都有无穷多个有理数qp， 使得 170 21|| qqp ， q 0， (p, q) = 1。 现在，我们来构造具体的超越数。 设 r1, r2, , rn,  与 s0, s1, , sn,  是严格增加的正整数列，满足条件 0 = s0  r1s1  r2  ，  nnn rslim。 (6) 又设整数列 a1, a2, , an,  满足条件 ak = 0（ rn k sn， n = 1, 2, 3,  ）， (7) ,3,2,100  naa nn sr ， ， (8) 并且  0)( k kk xaxf的收敛半经是 1。 定理 2 设qp是区间 (0, 1)中的有理数qp。 若 )(qpf不是有理数，则必是超越数。 证明 若qp(0, 1)，则必存在 x(0, 1)， 使得qp x。 由于  0)( k kk xaxf 收敛，所以，存在常数 M，使得 |akxk|  M， k = 0, 1, 2, 。 (9) 由式 (7)，对于任何正整数 n，有   nnnskkkkskkkrkkk qxpxaqpaqpaqpf )()()()(0。 记 y =qxp 1， 则由上式及式 (9)得到 nnnn ssskkrkkk yMyMyyMqpaqpf    110 )()(， (10) 其中 M是常数。 由式 (6)，我们有 171 nnnn rqyss qMqMyM  lo glo g， 其中  nnn rsqyloglog ， n→∞。 在式 (10)中， krk k qpan )(0是一个分母 nrq 的有理分数，因此，利用定理 1 的推论可知，若 f()不是有理数，则它必是超越数。 证毕。 推论 设正整数数列 {rn}满足条件   nnnn rrrrrr 1121 ， ， n→∞， 则对于任何整数 a  2，   1n rna是超越数。 证明 由定理 2，只需证明 不是有理数。 设 是有理数，  =qp，p 与 q 是互素的整数，记 nnnkr qpa k 1， 则 nrn aq  ， 并且 0 nrnnnnn aqqqqpqpqp  11||||。 (11。