02高等数学讲义汪诚义第二章(编辑修改稿)

02高等数学讲义汪诚义第二章(编辑修改稿)内容摘要：

（ 1）在闭区间 [a ， b ]上皆连续； （ 2） 在开区间（ a ， b ）内皆可导；且 ( ) 0gx  ，则存在 ),( ba 使得 该套资料由芸芸视频整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待广大考生咨询 推荐： 09 年新东方考研数学英语政治视频课程 提供试看文件 提供试用下载网盘 09 课程已经更新 35 ( ) ( ) ( ) ()( ) ( ) ( )f b f a f abg b g a g      （注：柯西中值定理为拉格朗日中值定理的推广，特殊情形 xxg )( 时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理 ） 几何意义：考虑曲线 的参数方程  ],[)( )( battfy tgx 点 ))(),(( afagA ，点 ))(),(( bfbgB 曲线在 上是连续曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线 ____AB . 值得注意：在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。 罗尔定理看作 拉 格朗日中值定理的预备定理，柯西中值 定理虽然更广，但用得 不 太多。 在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。 四、泰勒定理（泰勒公式）（数学一和数学二） 定理 1（ 带 皮亚诺余项的 n 阶泰勒公式） 设 )(xf 在 0x 处有 n 阶导数，则有公式 )()(! )()(!2 )()(!1 )()()( 00)(20039。 39。 0039。 0 xRxxn xfxxxfxxxfxfxf nnn   （ 0xx ） 其中 00( ) [ ( ) ] ( )nnR x o x x x x   称为皮亚诺余项。 （ 0)( )(lim 00  nnxx xx xR） 前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的 n ，所以对常用的初等函数如 )1ln (,co s,s in, xxxe x 和 ax)1(  （  为实常数）等的 n 阶泰勒公式都要熟记。 定理 2 （ 带 拉格朗日余项的 n 阶泰勒公式） 设 ()fx在包含 0x 的区间 (, )ab 内有 1n 阶导数，在 [, ]ab 上有 n 阶连续导数，则对],[ bax ，有公式 )()(! )()(!2 )()(!1 )()()( 00)(20039。 39。 0039。 0 xRxxn xfxxxfxxxfxfxf nnn   该套资料由芸芸视频整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待广大考生咨询 推荐： 09 年新东方考研数学英语政治视频课程 提供试看文件 提供试用下载网盘 09 课程已经更新 36 其中 10)1( )()!1( )()(   nnn xxnfxR ，（  在 0x 与 x 之间 ） 称为拉格朗日余项。 上面展开式称为以 0x 为中心的 n 阶泰勒公式。 00x 时，也称为麦克劳林公式。 如果 0)(lim  xRnn，那么泰勒公式就转化 为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。 （乙）典型例题 一、用罗尔定理的有关方法 例 1 设 )(xf 在 [0， 3]上连续，在（ 0， 3）内可导，且 3)2()1()0(  fff ， 1)3( f . 试证 ： 必存在 )3,0( ，使 ( ) 0f   证： ∵ )(xf 在 [0， 3]上连续， ∴ )(xf 在 [0， 2]上连续，且有最大值 M 和最小值 m .于是 Mfm  )0( ； Mfm  )1( ； Mfm  )2( ，故Mfffm  )]2()1()0([31 . 由连续函数介值定理可知，至少存在一点 [0,2]c 使得1)]2()1()0([31)(  fffcf ，因此 )3()( fcf  ，且 )(xf 在 [c ， 3]上连续，（ c ， 3）内可导，由罗 尔 定理得出 必存在 )3,0()3,(  c 使得 ( ) 0f  。 例 2 设 )(xf 在 [0， 1]上连续，（ 0， 1）内可导，且  132 )0()(3 fdxxf 求证 ： 存在 )1,0( 使 0)(39。 f 证：由积分中值定理可知，存在 2[ ,1]3c ，使得  132 )321)(()( cfdxxf 得到   132 )0()(3)( fdxxfcf 对 )(xf 在 [0， c]上用罗尔定理，（三个条件都满足） 故存在 )1,0(),0(  c ，使 ( ) 0f   例 3 设 )(xf 在 [0,1]上连续， (0， 1)内可导，对任意 1k ，有   k x dxxfxekf 10 1 )()1(，该套资料由芸芸视频整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待广大考生咨询 推荐： 09 年新东方考研数学英语政治视频课程 提供试看文件 提供试用下载网盘 09 课程已经更新 37 求证存在 )1,0( 使 1( ) (1 ) ( )ff    证：由积分中值定理可知存在 1[0, ]c k 使得 )01)(()( 110 1   kcfcedxxfxe ck x 令 )()( 1 xfxexF x ，可知 )1()1( fF  这样 1 110( 1 ) ( 1 ) ( ) ( ) ( )xckF f k x e f x d x c e f c F c   ，对 )(xF 在 ]1,[c 上用罗尔定理（三个条件都满足）存在 )1,0()1,(  c ， 使 ( ) 0F   而 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )x x xF x e f x x e f x x e f x     ∴ 1 1( ) [ ( ) (1 ) ( ) ] 0F e f f       又 01 e ，则 1( ) (1 ) ( )ff  在例 3 的条件和结论中可以看出不可能 对 )(xf 用罗尔定理，否则结论只是 ( ) 0f   ，而且条件也不满足。 因此如何构造一个函数 )(xF ，它与 )(xf 有关，而且满足区间上罗尔定理的三个条件，从 ( ) 0F   就能得到结论成立 ，于是用罗尔定理的有关证明命题中，如何根据条件和结论构造一个合适的 )(xF 是非常关键，下面的模型 Ⅰ ，就在这方面提供一些选择。 模型 Ⅰ ：设 )(xf 在 ],[ ba 上连续，（ ba, ） 内可导， 0)()(  bfaf 则下 列各结论皆成立。 （ 1） 存在 ),(1 ba 使 11( ) ( ) 0f lf （ l 为实常数） （ 2）存在 ),(2 ba 使 12 2 2( ) ( ) 0kf k f   （ k 为 非 零常数） （ 3）存在 ),(3 ba 使 3 3 3( ) ( ) ( ) 0f g f   （ )(xg 为连续函数） 证：（ 1）令 )()( xfexF lx ，在 ],[ ba 上用罗尔定理 ∵ ( ) ( ) ( )lx lxF x le f x e f x ∴ 存在 ),(1 ba 使       0111 11    fefleF ll 该套资料由芸芸视频整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待广大考生咨询 推荐： 09 年新东方考研数学英语政治视频课程 提供试看文件 提供试用下载网盘 09 课程已经更新 38 消去因子 1le ，即证 . （ 2） 令 ( ) ( )kxF x e f x ，在 ],[ ba 上用罗尔定理 1( ) ( ) ( )kkk x xF x kx e f x e f x 存在 ),(2 ba 使 2212 2 2 2( ) ( ) ( ) 0kkkF k e f e f      消去因子 ke2 ，即证。 （ 3） 令 )()( )( xfexF xG ，其中 ( ) ( )G x g x  ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )G x G xF x g x e f x e f x 由 3( ) 0F   清去因子 )(3Ge ，即证。 例 4 设 )(xf 在 ]1,0[ 上连续，在（ 0， 1）内可导， 0)1()0(  ff ， 1)21( f ，试证： （ 1） 存在 )1,21( ，使  )(f。 （ 2）对任意实数  ，存在 ),0(  ，使得 ( ) [ ( ) ] 1ff       证明 ：（ 1 ）令 xxfx  )()( ， 显然它在 [0, 1] 上 连 续 ， 又021)21(,01)1(  ，根据介值定理，存在 )1,21( 使 0)(  即  )(f （ 2） 令 ])([)()( xxfexexF xx    ，它在 ],0[  上满足罗尔定理的条件，故存在 ),0(  ，使 ( ) 0F   ，即       01   ffe 从而 ( ) [ ( ) ] 1ff       （注：在例 4（ 2）的证明中，相当于模型 Ⅰ 中（ 1）的情形，其中 l 取为  ， )(xf 取为xxfx  )()( ） 模型 Ⅱ ： 设 )(xf ， )(xg 在 ],[ ba 上皆连续，（ ba, ）内皆可导，且 0)( af ， 0)( bg ，则存在 ),( ba ，使 该套资料由芸芸视频整理 ： 747883097 TL： 028 8194 2202 期待广大考生咨询 推荐： 09 年新东方考研数学英语政治视频课程 提供试看文件 提供试用下载网盘 09 课程已经更新 39 ( ) ( ) ( ) ( ) 0f g f g    证： 令 )()()( xgxfxF  ，则 0)()(  bFaF ，显然 )(xF 在 [ ba, ]上满足罗尔定理的条件，则存在 ),( ba ，使 ( ) 0F   ，即证 . 例 5 设 )(xf 在 [0, 1]上连续，（ 0, 1）内可导， 0)0( f ， k 为正整数。 求证： 存在 )1,0( 使得 ( ) ( ) ( )f kf f    证： 令 kxxg )1()(  ， 1,0  ba ，则 0)0( f ， 0)1( g ，用模型 Ⅱ ，存在)1,0( 使得 1( ) ( 1 ) ( 1 ) ( ) 0kkf k f        故 ( )( 1) ( ) 0f kf      则 ( ) ( ) ( )f kf f    例 6 设 )(),( xgxf 在 ),(。