03数的表示(编辑修改稿)

03数的表示(编辑修改稿)内容摘要：

23232121222)1(2)1(2 kkkkkkkkkkkk qpqpqpqpqpqp ， ； (ⅱ ) 对任意的正整数 k， pk与 qk互素。 证明 (ⅰ ) 由定理 2，得到 ，0)1(0)1(3212122232321212222212)1(2)1(222kkkkkkkkkkkkkkkkqqaqpqpqqaqpqp 以及 0)1( 122 212 1222   kk kkkkk qqqpqp。 结论 (ⅰ )得证。 (ⅱ ) 由定理 2的结论 (ⅰ )即可得出 (pk, qk) = 1。 证毕。 定理４ 任何简单连分数都表示一个实数。 证明 以nnqp 表示这个连分数的第 n个渐近分数。 由定理 3，  , 44223311 qpqpqpqp 与 75 分别是有界的递增数列和有界的递减数列，因此，下面 的极限存在：   BqpAqp nnnnnn 2212 12 limlim ， (2) 利用定理 1推论，得到 ）（   kkkqqqpqp kkkkkk 0)22)(12( 110 12212 1222 ， 所以， A = B，并且 Aqpnnn lim。 证毕。 例１ 设 a与 b是正整数， b 1，  a1, a2,  , an 是 ba 的有限简单连分数，证明 aqn  1  bpn  1 = (1)n(a, b)， 其中 (a, b)是 a与 b的最大公约数。 解 由渐近分数定义 ， nnn qpaaaba  , 21 。 记 a = (a, b)A， b = (a, b)B，则 (A, B) = 1。 由定理 2可知 (pn, qn) = 1，因此， pn = A， qn = B， a = pn(a, b)， b = qn(a, b)。 (3) 再利用定理 2，有 pnqn  1  pn  1qn = (1)n， aqn  1  bpn  1 = (1)n(a, b)。 注 ：例 1给出了求不定方程 ax  by = c的特解的一个方法。 例２ 求不定方程 13x  17y = 5 (4) 的解。 解 容易验证  4,3,1,0413111134111713 ，于是 p1 = 0， p2 = 10  1 = 1， p3 = 31  0 = 3， q1 = 1， q2 = 1， q3 = 31  1 = 4。 76 由例 1有 134  173 = (1)4 = 1，因此 1345  1735 = 5，即 x = 20， y = 15是方程 (4)的特解，所以方程 (4)的一般解是    ty tx 1315 1720， tZ。 例３ 设nnqp 是  a1, a2,  , an,  的第 n个渐近分数，则 1nnqq =  an, an  1,  , a2 （ n  2）。 (5) 解 用归纳法证明。 当 n = 2时，由式 (1)，有 12qq = a2 =  a2  ， 即式 (5)成立。 假设式 (5)当 n = k（ k  2）时成立，即 1kkqq =  ak, ak  1,  , a2  ， (6) 则由式 (1)，有 kkkkkkkkk qqaq qqaqq 11111   ， 由此及式 (6)，得到   2111 , 1 aaaaqq kkkkk =  ak + 1, ak ,  , a2  ， 即式 (5)当 n = k + 1时也成立。 由归纳法证得到所需结论。 例 4 求连分数  0, 1, 2, 1, 2,  的值。 解 设 21112111,2,1,2,1,0x ， 77 则 x =x2111 ，解这个方程，并注意 0 x 1，得到 13x。 习 题 二 1. 设连分数  1, 2,  , n,  的第 k个渐近分数为kkqp ，证明： kkkkaaaakaaaaak qp100011000011000120000001100011000011000121000111313 ， 2. 设连分数  1, 2,  , n,  的第 k个渐近分数为kkqp ，证明：   1121 01 101 101 1 kk kkk qq ppaaa ， k  2。 3. 求连分数  1, 2, 3, 4, 5,  的前三个渐近分数。 4. 求连分数  2, 3, 2, 3,  的值。 5. 解不定方程： 7x  9y = 4。 第三节 实数的连分数表示 现在，我们来讨论连分数表示实数的问题。 定理１ 任一有理数 可以表示成有限简单连分数。 证明 设  =ba ， a与 b是整数， b 0， (a, b) = 1， 由辗转相除法，有 78 10,0, 111111  brbrqbabrrbqa, ,0,122112221 rrqrbrrrqrb  1,10212  qrr, … … … 112112 ,0, nnnnnnnnnnn r rqrrrrrqrr , ,1,101   nnn qrr 1,11111   nnnnnnn qqrrqrr， 因此 ba =  q1, q2,  , qn + 1 。 证毕。 定理２ 任一无理数可以表示成无限简单连分数。 证明 对于任意的无理数 ，总有无理数 1，使得 1][11][ 11   ，。 由此， 对于 任意的 无理数 α ， 我们依次得到： ，，，，，11][111][111][1111112121222111111nnnnnnnn aaaaaaaaa (1)   下面证明  =  a1, a2,  , an,  。 79 由上面的等式及第二节定理 1可见，对于任意的正整数 n 1，有  =  a1, a2,  , an, n =11nnnnnn qq pp ， (2) 其中iiqp （ i  1）是  a1, a2,  , an,  的渐近分数。 因此，由式 (2)及第二节定理 2，得到 )( )1( 1111   nnnn nnnnnn nnnnn qqqqpqq ppqp 。 (3) 再。