01高等数学讲义汪诚义第一章(编辑修改稿)

01高等数学讲义汪诚义第一章(编辑修改稿)内容摘要：

xn                6．洛必达法则 法则 1：（ 00 型 ） 设（ 1） 0)(lim,0)(lim  xgxf （ 2） x 变化过程中， ()fx ， ()gx 皆存在 （ 3） ()lim()fx Agx （或  ） 则 Axg xf )( )(lim（或  ） （注：如果 ()lim()fxgx不存在且不是无穷大量情形，则不能得出 ()lim()fxgx不存在且不是无穷大量情形） 法则 2：（  型）设（ 1） li m ( ) , li m ( )f x g x    （ 2） x 变化过程中， ()fx ， ()gx 皆存在 （ 3） ()lim()fx Agx （或  ） 则 Axg xf )( )(lim（或  ） 7．利用导数定义求极限 基本公式： 0000 ( ) ( )l im ( )x f x x f x fxx    [如果存在 ] 8．利用定积分定义求极限 基本公式  101 )()(1lim dxxfnkfn nkn [如果存在 ] 9．其它综合方法 10．求极限的反 问题有关方法 （乙）典型例题 一、通过各种基本技巧化简后直接求出极限 9 例 1 设 0ma ， 0nb ，求01110111lim bxbxbxb axaxaxa nnnnmmmmx    解：01110111lim bxbxbxb axaxaxa nnnnmmmmx    nnnnmmmmnmx xbxbxbbxaxaxaax  0111101111 ][lim   时当时当时当，nmnmbanmnm,0 例 2 设 0a ， 1r ，求 )(lim 1  nn arara  解： rarraarara nnnn  111l i m)(l i m 1 特例 （ 1）求    nnn )32()1()32()32(32lim 132  解：例 2 中取 32a ， 32r ，可知原式52)32(132 （ 2）34232)31(311)21(211lim  nnn  例 3．求nnnnn 3223lim 11  解：分子、分母用 n3 除之， 原式 = 31)32(2)32(3lim  nnn （注：主要用当 1r 时 ， 0lim  nn r） 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 高等数学 10 例 4 设 l 是正整数，求  nkn lkk1 )(1lim 解： )11(1)( 1 lkkllkk  ∴   nk lnnlllkk111112111)( 1  因此原式 )1211(1 ll   特 例 ：（ 1）  nkn kk1 1)1(1lim （ 1l ） （ 2）  nkn kk1 43)211(21)2( 1lim （ 2l ） 二、用两个重要公式 例 1 求nn xxx 2c o s4c o s2c o slim  解： 当 0x ，原式 =1 当 0x 时，原式nnnnnn xxxxx2s in22c o s4c o s2c o s2s in2lim  nnnnnn xxxxx2s in22s in2c o s4c o s2c o s2lim 111 =„ xxxxxxxxnnnnnns in2s in2s inlim2s in2s inlim  例 2 求 xx xx )11(lim  解一： 21)11()11(lim/)1( /)1(lim)11(lim    eeexxxxxxxxxxxxxxx 11 解二： 2)12)(21()12(1l im)11(l im    exxx x xxxxx 例 3   )2(c o s)s i n( 120s i n2c o s20c o t022222 )s i n(1lim)s i n1(lim)( c o slim  xxxxxxxx xxx = 21e 三、用夹逼定理求极限 例 1．求 )2 12654321(lim nnn   解：令 nnxn 2 12654321  ， 12 25432  n nyn ， 则 nn yx 0 ，于是 12 10 2  nyxxnnn 由夹逼定理可知： 0lim 2  nn x，于是原极限为 0 例 2 求  nkn knnk1 2lim 解：12121 21 22     nn nknn knnn n nk  而 21)2( )1(21lim221lim 2    nn nnnn n nn  211)1(21lim121lim 22    nnnnnn n nn  由夹逼定理可知21lim 1 2  nkn knn k 例 3 求 xx dttx 0 sin1lim 解： 2s ins in0)1(    td tdttkk 设  )1(  nxn ，则 新东方在线 [] 网络课堂电子教材系列 高等数学 12 )1(2s i ns i ns i n2 )1(000    ndttdttdttn nxn  于是，   x nndttxn n 0 )1(2s in1)1( 2  ∵ 2)1( 2lim  n nn，  2)1(2lim  nnn， 由夹逼定理可知，  xx dttx 0 2s in1lim  四、用定积分定义求数列的极限 例 1．求  nkn knn1 22lim 分析：如果还想用夹逼定理中的方法来考虑 2221 222221  n nkn nnn n nk 而 21lim222  nnnn， 11lim222  nnn 由此可见，无法再用夹逼定理，因此我们改用定积分定义来考虑 解 ：    nknk nn nknknn1 21 22 )(111limlim   10 2 401t a n1 xar cxdx 例 2 求  nknknnk1 1sinlim 解：    nknknk nknknnknkn 11 1 s i n11s i ns i n11  而  1012s ins in1lim  x d xnkn nkn 13     nk nknn nknn nnkn 1 1 2)s i n1)(1(l i ms i n11l i m  由夹逼定理可知，21s inlim1nknknnk 五、用洛必达法则求极限 1． 0。