江西省高考文科数学运用数学思想方法解题的策略(文科)(编辑修改稿)

江西省高考文科数学运用数学思想方法解题的策略(文科)(编辑修改稿)内容摘要：

2 1 21 ( ) 34O A O B x x y y y y y y     ， 综上所述 ， 命题 “ 如果直线 l 过点 (3,0)T ， 那么 3OAOB” 是真命题 ； 易错点： （ 1）在本例中，非常容易遗漏当直线 l 的斜率不存在时对命题的论证，习惯性地设直线 l 的方程为 ( 3)y k x，直接求得 3OAOB，从而证明命题是真命题 .显然这种证法是不严密的 .（ 2）此题是由概念引起的分类讨论，相关的题目很多，如集合是否为空集的讨论；指数函数、对数函数底数的讨论；公比 q 、斜率 k 的讨论等 . 变式与引申 1： 已知集合    2| 9 1 8 0 , | 1 2A x x x B x a x a       ，若 BA时，则实数 a 的取值范围是 ____________. 我的宗旨：授人以渔 1294383109 欢迎互相交流 访问我的空间 题 型二 由参数引起的分类讨论 例 2.（ 2020全国课标卷理科第 21题）已知函数 ln()1a x bfx xx，曲线 ()y f x 在点(1, (1))f 处的切线方程为 2 3 0xy  。 （Ⅰ）求 a 、 b 的值； （Ⅱ）如果当 0x ，且 1x 时， ln()1xkfx xx，求 k 的取值范围。 点拨： （ 1）此题是与导数有关的一类问题，思路为：求 ()fx导函数，再利用 (1) 1f  和139。 (1) 2f  求出 ,ab的值；（ 2）由于该题存在参数 k ，因此应对参数 k 进行分类讨论 . 解 ： （Ⅰ）221( ln )39。 ( ) ( 1 )x x bxfx xx  由于直线 2 3 0xy   的斜率为 12 ，且过点 (1,1) ，故 (1) 1, 139。 (1) ,2ff 即 1, 1,22ba b   解得 1a ， 1b。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ln 1() 1xfx xx ，所以 22l n 1 ( 1 ) ( 1 )( ) ( ) ( 2 l n )11x k k xf x xx x x x   。 考虑函数 ( ) 2lnh x x 2( 1)( 1)kxx( 0)x ，则 22( 1 ) ( 1 ) 239。 ( ) k x xhx x  。 (i)设 0k ，由 222( 1 ) ( 1 )39。 ( ) k x xhx x  知，当 1x 时， 39。 ( ) 0hx .而 (1) 0h  ，故 当 (0,1)x 时， ( ) 0hx ，可得21 ( ) 01 hxx ； 当 x（ 1， + ）时， h（ x） 0，可得211x h（ x） 0 我的宗旨：授人以渔 1294383109 欢迎互相交流 访问我的空间 从而当 x0,且 x 1时， f（ x） （1lnxx+xk） 0，即 f（ x） 1lnxx+xk. （ ii）设 01k.由 于当 x（ 1，k11）时，（ k1）（ x2 +1） +2x0,故 39。 ( ) 0hx ,而 h（ 1）=0，故当 x（ 1，k11）时， ( ) 0hx ，可得211x ( ) 0hx,与题设矛盾 . （ iii）设 1k .此时 39。 ( ) 0hx ,而 h（ 1） =0，故当 x（ 1， + ）时， ( ) 0hx ，可得211x ( ) 0hx,与题设矛盾 . 综合得， k 的取值范围为（  ， 0] 易错点： （ 1）易遗漏 (1) 1f  这个隐含条件；（ 2）在（Ⅱ）中，不会构造函数 ()hx ，充分利用 ()hx 单调性和 h（ 1） =0，对 k 进行讨论，从而作出判断 . 变式与引申 2： （ 1）解关于 x 的不等式： 2 10ax x a   . （ 2）设 k 为实常数，问方程 )4()8()4()8( 22  kkykxk 表示的曲线是何种曲线。 题型三 由自变量引起的分类讨论 例 2( 1) 1a x x  在 ( 2,1)x 内恒成立，求实数 a 的取值范围 . 点拨： 该题是恒成立问题，其实就是求最值问题，由于 ( 2,1)x ， 1x 的符号不确定，因此在参变量分离时应对 x 范围进行分类讨论 . 解： 令 2 1() 1xfx x   ，则 2( 1 ) 2 ( 1 ) 2 2( ) ( 1 ) 211xxf x xxx        （ 1）当 11x   时， 0 1 2x   ，则 ()a f x ， 而此时 ( ) 2 2 2fx，∴2 2 2a； （ 2）当 21x   时， 1 1 0x    ，则 ()a f x ， 而此时 ( ) 5fx ，∴ 5a ； （ 3）当 1x 时，原不等式化为 02 恒成立 . 综上所述， a 的取值范围是 [ 5,2 2 2). 易错点： （ 1）该题在参变量分离时经常会不考虑自变量 x 的取值范围，直接化为 2 11xa x  ，求得 2 2 2a；（ 2）在分类讨论后，往往没有把最后结果取交集 .审题时一定要分清讨我的宗旨：授人以渔 1294383109 欢迎互相交流 访问我的空间 论的目标是自变量还是参数，当讨论自变量时结果取交集，当讨论参数时注意分情况写出 . 变式与引申 3： （ 1）设 ()fx ( 1 )232 ( 2 )lo g ( 1) ( 2 )xexxx ＝,则不等式 ( ) 2fx 的解集为（ ） A.(1,2) (3, ) B.( 10, ) C.(1, 2) ( 10 , ) D.(1,2) （ 2）已知 x 是不为零的实数 ， *nN ,则 2323 nx x x n x        . 题型四 由运算引起的分类讨论 例  32( ) 3 ( 3 6 ) + 1 2 4f x x a x a x a a R      (Ⅰ )证明：曲线 ( ) 0y f x x在 处 的 切 线 过 点 （ 2 ， 2 ） ； （Ⅱ）若 00()f x x x x在 处 取 得 最 小 值 ， （ 1 ， 3 ） ，求 a 的取值范围 . 点拨 :第 (I)问直接利用导数的几何意义，求出切线的斜率 ，然后易写出直接方程 . (II)第（ II）问是含参问题，关键是抓住方程 ( ) 0fx  的判别式进行分类讨论 . 解：（ I） 2( ) 3 6 3 6f x x ax a    . 由 ( 0) 12 4 , ( 0) 3 6f a f a   得曲线 ()y f x 在 x=0处的切线方程为 (3 6 ) 12 4y a x a    由此知曲线 ()y f x 在 x=0处的切线过点（ 2， 2） . （ II）由 ( ) 0fx  得 2 2 1 2 0x ax a    （ i） 当 2 1 2 1a    时， ()fx没有极小值； (ii)当 21a或 21a  时，由 ( ) 0fx  得 22122 1 , 2 1x a a a x a a a          故 02xx。 由题设知 21 2 1 3a a a     ， 当 21a时，不等式 21 2 1 3a a a     无解； 当 21a  时，解不等式 21 2 1 3a a a     得 5 212 a     综合 (i)(ii)得 a 的取值范围是 5( , 2 1)2   . 我的宗旨：授人以渔 1294383109 欢迎互相交流 访问我的空间 易错点： （ 1）首先该题不知道对 方程 ( ) 0fx  的判别式进行分类讨论；（ 2）其次，解不等式运算出错 . 变式与引申 4： （ 1）若 )34()1( 1   na nn ，求数列 }{na 的前 n 项和 nS . （ 2）已知等差数列 na 的前 n 项和 212 nnSn  .求数列  ||na 的前 n 项和 nT . 本节主要考查： （ 1）本节考查的是分类讨论的数学思想方法，高中数学的每一个知识点都可能成为分类讨论考查的对象，因此牢固掌握各章的基本知识点和基本原理是分类讨论的基础 .（ 2） 分类讨论的原则有： 同一性原则、互斥性原则、层次性原则 . 同一性原则简言之即“不遗漏”；互斥性原则强调的是“ 避免重复 ”； 层次性原则是指分类讨论必须按同一标准的层次进行 ,不 同标准的不同层次的讨论不能混淆 .（ 3）分类讨论的思想方法是 把要解决的数学问题 ,分解成可能的各个部分 ,从而使复杂问题简单化 ,使“大”问题转化为“小”问题 ,便于求解 .它的思维策略是 “化整为零，各个击破” . 点评： （ 1）分类讨论思想是数学思想方法中最基本、最常见的一种思想方法， 在近几年的高考试题中都把分类讨论思想方法列为重要的思想方法来考查，体现出其重要的位置 .分类讨论的思想方法不仅具有明显的逻辑性、题型覆盖知识点较多、综合性强等特点，而且还有利于对学生知识面的考查、需要学生有一定的分析能力、一定分类技 巧，对学生能力的考查有着重要的作用 . （ 2）引入分类讨论的主要原因 ① 由数学概念引起的分类讨论：如绝对值的定义、直线的斜率等； ② 由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零、对数中真数与底数的要求等； ③ 由函数的性质、定理、公式的限制引起的分类讨论； ④ 由图形的不确定引起的分类讨论； ⑤ 由参数的变化引起的分类讨论； ⑥ 按实际 问题的情况而分类讨论 . （ 3）分类讨论的思想方法的步骤： (1)确定标准； (2)合理分类； (3)逐类讨论； (4)归纳总结 （ 4）解题时把好“四关” ① 要深刻理解基本知识与基本原理，把好“基础关”； ② 要找准划分标准，把好“分类关”； ③ 要保证条理分明，层次清晰，把好“逻辑关”； ④ 要注意对照题中的限制条件或隐含信息，合理取舍，把好“检验关” . 习题 83 1. 已知函数 ( ) ( ) 3 ( 0)f x a x a x a   ，下列结论正确的是（ ） A．当 2xa 时，有最小值 0 B．当 3xa 时，有最大值 0 C．无最大值和最小值 D．有最小值无最大值 {}na 的通项 2 2 2( c o s si n )33n nnan ，其前 n 项和为 nS ，则 30S =_________ 我的宗旨：授人以渔 1294383109 欢迎互相交流 访问我的空间 2{ | 4 0 , , }A x x ax x R a R     , { 1,2,4}B ， 若 AB ,求 a 的取值范围 . Q（ 2， 0）和圆 C： 122 yx ，动点 M 到圆 C的切线长与｜ MQ｜的比等于常数 )0(  .求动点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线 . 5. （ 2020 湖南文科）设函数 1( ) ln ( ) .f x x a x a Rx    (I)讨论 ()fx的单调性； （ II）若 ()fx有两个极值点 12xx和 ，记过点 1 1 2 2( , ( ) ) , ( , ( ) )A x f x B x f x的直线的斜率为 k ，问：是否存在 a ，使得 2?ka 若 存在，求出 a 的值，若不存在，请说明理由． 第四节 运用等价转换思想解题的策略 等价转换是四大数学思想之一，在研究和解决中较难数学问题时，采用等价转换思想，将复杂的问题等价转换为简单的问题，将难解的问题通过等价转换为容易求解的问题，将未解决的问题等价转换为已解决的问题 .近几年来高考试题要求学生要有较强的等价转换意识，等价转换思想的应用在近几年来高考试题中处处可见，是解高考试题常用的数学思想，难度值一般控制在  . 考试要求： （ 1）了解 等价 转换 的数学思想 和遵循的基本原则；（ 2）了解等价 转换 思想 在解题中的作用； （ 3）掌握等价 转换 的主要途径、方法；（ 4）掌握几种常见的等价 转换 思路，灵活运用等价转换思想解决数学难题 . 题型一 利用数学定义、公式构造数学模型进行等价 转换 例 1.（ 1）求 22sin 2 0 c o s 8 0 3 sin 2 0 c o s 8 0o o o o的值。 （ 2）求函数 2si n 1 c。