江苏省高考数学基本不等式及其应用(编辑修改稿)

江苏省高考数学基本不等式及其应用(编辑修改稿)内容摘要：

+ + ) =3+( + )+( + )+( + )≥3+2+2+2=9 ， 即 3( + + )≥9 ， 所以 + + ≥3 . 变式 a、 b为正实数，且 a+b=1. (1)求证： ab+ ≥4 ； (2)探索、猜想：将结果填在括号内： a2b2+ ≥( )； a3b3+ ≥( )； (3)由 (1)、 (2)你能归纳出更一般的结论吗。 并证明你给出的结论 ． 解析： (1)因为 a0， b0， 所以 1=a+b≥2 ， 当且仅当 a=b= 时等号成立， 即 0ab≤ . 设 ab=t，则 t∈(0 ， ]． 令 f (t)=t+ ， 则问题等价于当 t∈(0 ， ]时，求 f (t)的最小值． 因为 f ′(t)=1 0在 (0， ]上恒成立， 所以 f (t)=t+ 在 (0， ]上是减函数． 所以 f (t)min=f ( )= +4=4 ， 所以 f (t)≥4 ，即 ab+ ≥4 (2)a2b2+ ≥ ， a3b3+ ≥ . (3)由 (1)、 (2)可归纳出一般的结论为： anbn+ ≥4n+ (n∈N*) ． 证明：因为 a0， b0，所以 1=a+b≥2 ( 当且仅当 a=b= 时等号成立 )， 所以 0ab≤ ，所以 0anbn≤ (n∈N*) ． 设 anbn=t，则 t∈(0 ， ]． 令 f(t)=t+ .问题等价于当 t∈(0 ， ]时，求 f(t)的最小值． 因为 f ′(t)=1 0在 (0， ]上恒成立， 所以 f(t)=t+ 在 (0， ]上是减函数， 所以 f(t)min=f( )=4n+ ， 所以 f(t)≥4n+ ， 即 anbn+ ≥4n+ (n∈N*) ． 【点评】 (1)利用基本不等式证明不等式时，首先。