高考数学等比数列(编辑修改稿)

高考数学等比数列(编辑修改稿)内容摘要：

1qaqaqa， (Ⅱ )由 (Ⅰ )知 , 1323nna， 所以数列 )2(T 的的首项为 221 at , 公差312 2  ad ， 15539102121010 S ,即数列 )2(T 的前 10 项之和为 155。 点评：对于出现等差、等比数列的综合问题，一定要区分开各自的公式，不要混淆。 五．思维总结 1．等比数列的知识要点（可类比等差数列学习） （ 1）掌握等比数列定义nnaa1 ＝ q（常数）（ nN），同样是证明一个数列是等比数列的依据，也可由 an178。 an＋ 2＝ 21na 来判断； （ 2）等比数列的通项公式为 an＝ a1178。 qn－ 1； （ 3）对于 G 是 a、 b 的等差中项，则 G2＝ ab， G＝177。 ab ； （ 4）特别要注意等比数列前 n 项和公式应分为 q＝ 1 与 q≠ 1两类，当 q＝ 1时， Sn＝ na1，当 q≠ 1 时， Sn＝qqan1 )1(1， Sn＝qqaa n 11。 2． 等比数列的判定方法 ①定义法：对于数列 na ，若 )0(1  qqaa nn，则数列 na 是等比数列； ②等比中项：对于数列 na ，若 2 12   nnn aaa ，则数列 na 是等比数列。 3． 等比数列的性质 ①等比数列任意两项间的关 系：如果 na 是等 比 数列的第 n 项， ma 是等差数列的第 m第 11 页 共 25 页 项，且 nm ，公 比 为 q ，则有 mnmn qaa  ； ②对于 等比 数列 na ，若 vumn  ，则 vumn aaaa  ，也就是：  23121 nnn aaaaaa ，如图所示：       nnaanaann aaaaaa112,, 12321。 ③若数列 na 是等 比 数列， nS 是其前 n项的和， *Nk ，那么 kS ， kk SS 2 ， kk SS 23 成等 比 数列。 如下图所示：            kkkkkSSSkkSSkkk aaaaaaaa3232k31221S321  普通高中课程标准实验教科书 — 数学 [人教版 ] 高三新 数学 第一轮复习教案（讲座 28） — 数列概念及等差数列 一．课标要求： 1． 数列的概念和简单表示法 ； 通过日常生活中的实例，了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图像、通项公式），了解数列是一种特殊函数 ； 2． 通过实例，理解等差数列的概念 ， 探索并掌握等差数列的通项公式与前 n 项和的公式 ； 3． 能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题。 体会等差数列与一次函数的关系。 二．命题走向 数列在历年高 考都占有很重要的地位，一般情况下都是一至二个客观性题目和一个解答题。 对于本将来讲，客观性题目主要考察数列、等差数列的概念、性质、通项公式、前 n 项和公式等基本知识和基本性质的灵活应用，对基本的计算技能要求比较高。 预测 07 年高考： 1．题型既有灵活考察基础知识的选择、填空，又有关于数列推导能力或解决生产、生活中的实际问题的解答题； 2．知识交汇的题目一般是数列与函数、不等式、解析几何、应用问题联系的综合题，还可能涉及部分考察证明的推理题。 三．要点精讲 1．数列的概念 （ 1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫 做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。 记作 na ，在数列第一个位置的项叫第 1项（或首项），在第二个位置的叫第 2项，„„，序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作 na ； 数列的一般形式： 1a ， 2a ， 3a ，„„， na ，„„，简记作 na。 （ 2）通项公式的定义：如果数列 }{na 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表示，第 12 页 共 25 页 那么这个公式就叫这个数列的通项公式。 例如，数列 ① 的通项公式是 na = n （ n  7， nN ），数列 ② 的通项公式是 na = 1n（ nN ）。 说明：① na 表示数列， na 表示数列中的第 n 项， na = fn表示数列的通项公式；② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。 例如， na = (1)n = 1, 2 1 ()1, 2nk kZnk   ； ③不是每个数列都有通项公式。 例如， 1， ， ， ，„„ （ 3）数列的函数特征与图象表示： 序号： 1 2 3 4 5 6 项 ： 4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。 从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集 N （或它的有限子集）的函数 ()fn当自变量 n 从 1 开始依次取值时对应的一系列函数值 (1), (2), (3),f f f „„，()fn，„„．通常用 na 来代替 fn，其图象是一群孤立点。 （ 4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 （ 5） 递推公式定义：如果已知数列 na 的第 1 项（或前几项），且任一项 na 与它的前 一项 1na （或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个 数列的递推公式。 2．等差数列 （ 1） 等差数列定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母 d 表示。 用递推公式表示为 1 ( 2)nna a d n  或 1 ( 1)nna a d n   。 （ 2） 等差数列的通项公式： 1 ( 1)na a n d   ； 说明：等差数列（通常可称为 A P 数列）的单调性： d 0 为递增数列， 0d 为常数列， 0d 为递减数列。 （ 3） 等差中项的概念： 定义：如果 a ， A ， b 成等差数列，那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项。 其中 2abA  a ， A ， b 成等差数列  2abA 。 （ 4） 等差数列的前 n 和的求和公式： 11() ( 1 )22nn n a a nnS n a d   。 四．典例解析 题型 1：数列概念 例 1． 根据数列前 4 项，写出它的通项公式： （ 1） 1， 3， 5， 7„„； 第 13 页 共 25 页 （ 2） 2212， 2313， 2414， 2515； （ 3） 11*2， 12*3， 13*4， 14*5。 解析：（ 1） na =2 1n ； （ 2） na = 2( 1) 11nn ； （ 3） na = ( 1)( 1)nnn。 点评： 每一项序号与这一项的对应关系可看成 是一个序号到另一个数集的对应关系，这对考生的归纳推理能力有较高的要求。 例 2． 数列 na 中，已知 2 1 ()3n nna n N ， （ 1）写出 10a ， 1na ，2na； （ 2） 2793 是否是数列中的项。 若是，是第几项。 解析：（ 1）∵ 2 1 ()3n nna n N ， ∴ 10a 210 10 1 10933， 1na    2 21 1 1 3133nn nn    ， 2na  222 421 133nn nn ； （ 2）令 2793 2 13nn ， 解方程得 15, 16nn  或 ， ∵ nN ，∴ 15n ， 即 2793 为该数列的第 15 项。 点评：该题考察数列通项的定义，会判断数列项的归属。 题型 2：数列的递推公式 例 3． 如图 ,一粒子在区域 ( , ) | 0, 0x y x y上运动 ,在第一秒内它从原点运动到点 1(0,1)B ,接着按图中箭头所示方向在x轴、 y轴及其平行方向上运动，且每秒移动一个单位长度。 （ 1）设粒子 从原点到达点 n n nA B C、 、 时，所经过的时间分别为 nnna、 b、 c ，试写出}nnna{}、 {b }、 {c的通相公式； （ 2）求粒子从原点运动到点 (16,44)P 时所需的时间； （ 3）粒子从原点开始运动，求经过 2020秒后，它所处的坐标新疆源头学子小屋 特级教师 王新敞htp:/:/新疆。 解析： (1) 由图形可设 12(1 , 0) , ( 2 , 0) , , ( , 0)nA A A n，当粒子从原点到达 nA 时，明显有 0C 5C 4C 3C 2B 5B 4B 3B 2A 6A 5A 4A 3A 2C 1B 1A 1 xy第 14 页 共 25 页 1 3,a 211,aa 3 1 11 2 3 4 ,a a a     431,aa 5 3 32 0 5 4 ,a a a     651,aa „ „ 2 1 2 3 ( 2 1) 4 ,nna a n    2 2 1 1,nnaa ∴ 2 1 1 4 [ 3 5 ( 2 1 ) ]na a n      ＝ 241n , 22 2 1 14nna a n  。 22 1 2 1 2 ( 2 1 ) 4 4 1nnb a n n n     , 222 2 2 4 4nnb a n n n    。 222 1 2 1 ( 2 1 ) 4 2 ( 2 1 ) ( 2 1 )nnc b n n n n n        , 2222 2 4 2 ( 2 ) ( 2 )nnc a n n n n n     , 即 2nc n n。 （ 2）有图形知，粒子从原点运动到点 (16,44)P 时所需的时间是到达点 44C 所经过得时间 44c 再加（ 44－ 16）＝ 28 秒， 所以 244 44 28 2020t    秒。 （ 3）由 2nc n n 2020，解得 1 80171 2n  ，取最大得 n=44， 经计算，得 44c ＝ 19802020，从而粒子从原点开始运动，经过 1980秒后到达点 44C ，再向左运行 24秒所到达的点的坐标为（ 20， 44）。 点评：从起始项入手，逐步展开解题思维。 由特殊到一般，探索出数列的递推关系式，这是解答数列问题一般方法，也是历年高考命题的热点所 在。 例 4． （ 1）已知数列 na 适合： 1 1a ， 1na 22nnaa ，写出前五项并写出其通项公式； （ 2）用上面的数列 na ，通过等式 1n n nb a a  构造新数列 nb ，写出 nb ，并写出 nb 的前 5 项。 解：（ 1） 1 1a ，2 23a，3 24a，4 25a，5 26a，„„， 21na n ； （ 2） 2 2 21 2 ( 1 ) ( 2 )nb。