20xx年全国各地中考数学真题分类汇编—第26章矩形、菱形与正方形(编辑修改稿)

20xx年全国各地中考数学真题分类汇编—第26章矩形、菱形与正方形(编辑修改稿)内容摘要：

AFCE是菱形。 理由：∵ AE∥ CF，∴∠ EAO=∠ FCO，又∵ AO＝ CO，∠ AOE=∠ COF，∴△ AOE≌△ COF，∴ AE=CF，又 AE∥ CF，∴四边形 AFCE为平行四边形，又 AF=FC，所以平行四边形 AFCE为菱形． 18. （ 2020江苏泰州， 28， 12分）在平面直角坐标系 xoy中，边长为 a（ a为大于 0的常数）的正方形 ABCD的对角线 AC、 BD相交于点 P，顶点 A在 x轴正半轴上运动，顶点 B在 y轴正半轴上运动（ x轴的正半轴、 y轴的正半轴都不包含原点 O），顶点 C、 D都在第一象限． （ 1）当∠ BAO=45176。 时，求点 P的坐标。 (2)求证：无论点 A在 x轴正半轴上、点 B在 y 轴正半轴上怎样运动，点 P 都在∠ AOB的平分线上； （ 3）设点 P到 x轴的距离为 h，试确定 h的取值范围，并说明理由． yOPDCxBA 【答案】 解：（ 1）当∠ BAO=45176。 时，∠ PAO=90176。 ，在 Rt⊿ AOB中， OA＝ 22 AB＝ a22 ，在 Rt⊿ APB中， PA＝ 22 AB＝ a22。 ∴点 P的坐标为（ a22 ， a22 ） （ 2）过点 P分别作 x轴、 y轴的垂线垂 足分别为 M、 N，则有∠ PMA=∠ PNB=∠ NPM=∠ BPA=90176。 ，∴∠ MPA=∠ NPB，又 PA＝ PB，∴ △ PAM≌ △ PBN，∴ PM=PN，于是，点 P都在∠ AOB的平分线上； yOPDCxBANM （ 3） 2a ＜ h≤ a22。 当点 B与点 O重合时，点 P到 AB的距离为 2a ，然后顶点 A在 x轴正半轴上向左运动，顶点 B在 y轴正半轴上向上运动时，点 P到 AB的距离逐渐增大，当∠BAO=45176。 时， PA⊥ x轴，这时点 P到 AB的距离最大为 a22 ，然后又逐渐减小到 2a ， ∵ x轴的正半轴、 y轴的正半轴都不包含原点 O ，∴点 P到 x轴的距离的取值范围是 2a ＜ h≤ a22。 19. （ 2020山东济宁， 17， 5分）如图，在平行四边形 ABCD中，对角线 AC、 BD相交于点O，过点 O作直线 EF⊥ BD，分别交 AD、 BC于点 E和点 F，求证：四边形 BEDF是菱形． 【答案】证明： ∵ 四边形 ABCD是菱形， ∴ AD∥ BC， OB=OD， „„„„„„„„„„„„„„„„1 分 ∴∠ EDO=∠ FBO， ∠ OED=∠ OFB， „„„„„„„„„„2 分 ∴ △OED≌△OFB ， ∴ DE=BF， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„3 分 又 ∵ DE∥ BF， ∴ 四边形 BEDF是平行四边形， „„„„„„„„„„„ „4 分 OFE DCBA第 17 题 ∵ EF⊥ BD， ∴ 四边形 BEDF是菱形． „„„„„„„„„„„„„„„5 分 20． （ 2020山东聊城， 25， 12分）如图，在矩形 ABCD中， AB＝ 12cm， BC＝ 8cm，点 E、 F、 G分别从点 A、 B、 C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点 E、 G的速度均为2cm/s，点 F的速度为 4cm/s，当点 F追上点 G（即点 F与点 G重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第 t秒时， △ EFG的面积为 S（ cm2）． （ 1）当 t＝ 1秒时， S的值是多少。 （ 2）写出 S和 t之间的函数解析式，并指出自变量 t的取值范围． （ 3）若点 F在矩形的边 BC上移动，当 t为何值时，以点 E、 B、 F为顶点的三角形与以F、 C、 G为顶点的三角形相似。 请说明理由． 【答案】（ 1）如图甲，当 t＝ 1秒时， AE＝ 2， EB＝ 10， BF＝ 4， FC＝ 4， CG＝ 2，由 S＝ S梯形 EGCG－ SEBF－ SFCG＝ 21 (10＋ 2)8 － 21 104 － 21 42 ＝ 24 (2)如图（甲），当 0≤t≤2 时，点 E、 F、 G分别在 AB、 BC、 CD上移动，此时 AE＝ 2t，EB＝ 12－ 2t， BF＝ 4t， FC＝ 8－ 4t， S＝ 8t2－ 32t＋ 48（ 0≤t≤2 ） （ 3）如图乙，当 点 F追上点 G时， 4t＝ 2t＝ 8，解得 t＝ 4，当 2＜ t≤4 时， CF＝ 4t－ 8，CG＝ 2t， FG＝ CG－ CF＝ 8－ 2t，即 S＝－ 8t＋ 32(2＜ t≤4) ， (3)如图（甲），当点 F在矩形的边 BC上移动时， 0≤t≤2 ，在 EFF和 FCG中， B＝ C＝ 90，① 若 CGBFFCEB ，即 tttt 2448 212  ，解得 t＝ 32 ，又 t＝ 32 满足 0≤t≤2 ，所以当 t＝ 32 时△ EBF∽△ GCF② 若 CFBFGCEB ，即 ttt t 48 42 212  ，解得 t＝ 23 ，又 t＝ 23 满足 0≤t≤2 ，所以当 t＝ 23 时 △ EBF∽△ GCF，综上知，当 t＝ 32 或 23 时，以点 E、 B、 F为顶点的三角形与以 F、 C、 G为顶点的三角形相似 21. （ 2020山东潍坊， 18， 8分）已知正方形 ABCD的边长为 a，两条对角线 AC、 BD相交于点 O， P是射线 AB上任意一点，过 P点分别做直线 AC、 BD的垂线 PE、 PF，垂足为 E、F. （ 1）如图 1，当 P点在线段 AB 上时，求 PE+PF的值； （ 2）如图 2，当 P点在线段 AB 的延长线上时，求 PE－ PF的值 . 【解】（ 1）∵四边形 ABCD为正方形，∴ AC⊥ BD. ∵ PF⊥ BD，∴ PF//AC，同理 PE//BD. ∴四边形 PFOE为矩形，故 PE=OF. 又∵∠ PBF=45176。 ，∴ PF=BF. ∴ PE+PF=OF+FB=OB= 2cos 452aa. （ 2）∵四边形 ABCD为正方形，∴ AC⊥ BD. ∵ PF⊥ BD，∴ PF//AC，同理 PE//BD. ∴四边形 PFOE为矩形，故 PE=OF. 又∵∠ PBF=45176。 ，∴ PF=BF. ∴ PE－ PF=OF－ BF= OB= 2cos 452aa. 22. （ 2020四川广安， 23， 8分）如图 5所示，在菱形 ABCD中， ∠ ABC= 60176。 ， DE∥ AC交 BC的延长线于点 E．求证： DE=12 BE EDCBA 【答案】 证明： ∵ ABCD是菱形， ∠ ABC= 60176。 ∴ BC=AC=AD 又 ∵ DE∥ AC ∴ ACED为平行四边形 ∴ CE=AD=BC DE=AC ∴ DE=CE=BC 图 5 ∴ DE=12BE 23. (2020江苏南京， 21， 7分 )如图，将 □ABCD 的边 DC延长到点 E，使 CE=DC，连接 AE，交 BC于点 F． ⑴ 求证： △ ABF≌△ ECF ⑵ 若 ∠ AFC=2∠ D，连接 AC、 BE．求证：四边形 ABEC是矩形． 【答案】 证明： ⑴∵ 四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AB∥ CD,AB=CD． ∴∠ ABF=∠ ECF. ∵ EC=DC, ∴ AB=EC． 在 △ ABF和 △ ECF中， ∵∠ ABF=∠ ECF， ∠ AFB=∠ EFC， AB=EC， ∴⊿ ABF≌⊿ ECF． （ 2）解法一： ∵ AB=EC ， AB∥ EC， ∴ 四边形 ABEC是平行四边形． ∴ AF=EF， BF=CF． ∵ 四边形 ABCD是平行四边形， ∴∠ ABC=∠ D，又 ∵∠ AFC=2∠ D， ∴∠ AFC=2∠ ABC． ∵∠ AFC=∠ ABF+∠ BAF， ∴∠ ABF=∠ BAF． ∴ FA=FB． ∴ FA=FE=FB=FC, ∴ AE=BC． ∴ 口 ABEC是矩形． 解法二： ∵ AB=EC ， AB∥ EC， ∴ 四 边形 ABEC是平行四边形． ∵ 四边形 ABCD是平行四边形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ D=∠ BCE． 又 ∵∠ AFC=2∠ D， ∴∠ AFC=2∠ BCE， ∵∠ AFC=∠ FCE+∠ FEC， ∴∠ FCE=∠ FEC． ∴∠ D=∠ FEC． ∴ AE=AD． 又 ∵ CE=DC， ∴ AC⊥ DE．即 ∠ ACE=90176。 ． ∴ 口 ABEC是矩形． 24. （ 2020江苏南通， 26， 10分）（本体满分 10分） 已知：如图 1， O为正方形 ABCD的中心，分别延长 OA到点 F， OD到点 E，使 OF＝ 2OA，OE＝ 2OD，连结 EF，将△ FOE绕点 O逆时针旋转α角得到 △ 39。 39。 FOE （如图 2） . （ 1） 探究 AE′与 BF39。 的数量关系，并给予证明； （ 2） 当α＝ 30176。 时，求证：△ AOE′为直角三角形 . A B C D E F (第 21 题 ) 【答案】（ 1） AE′＝ BF 证明：如图 2， ∵在正方形 ABCD中， AC⊥ BD ∴∠ 39。 39。 FOE ＝∠ AOD＝∠ AOB＝ 90176。 即∠ AOE′＋∠ AOF′＝∠ BOF′＋∠ AOF′ ∴∠ AOE′＝∠ BOF′ 又∵ OA＝ OB＝ OD， OE′＝ 2OD， OF′＝ 2OA ∴ OE′＝ OF′ ∴△ OAE′≌△ OBF′ ∴ AE′＝ BF （ 2）作△ AOE′的中线 AM，如图 3. 则 OE′＝ 2OM＝ 2OD＝ 2OA ∴ OA＝ OM ∵α＝ 30176。 ∴∠ AOM＝ 60176。 ∴△ AOM为等边三角形 ∴ MA＝ MO＝ ME′，∠ 39。 AEM ＝∠ 39。 EAM 又∵∠ 39。 AEM ＋∠ 39。 EAM ＝∠ AMO 即 2∠ 39。 AEM ＝ 60176。 ∴∠ 39。 AEM ＝ 30176。 ∴∠ 39。 AEM ＋∠ AOE′＝ 30176。 ＋ 60176。 ＝ 90176。 ∴△ AOE′为直角三角形 . 25. （ 2020山东临沂， 22， 7分）如图，△ ABC中， AB＝ AC， AD、 CD分别是△ ABC两个外角的平分线．在直角梯形 ABCD中， AB∥ CD， ∠ ABC＝ 90176。 ，＝ 2CD，对角线 AC与 BD相交于点 O，线段 OA， OB的中点分别为点 E， F （ 1）求证： AC＝ AD； （ 2）若 ∠ B＝ 60176。 ，求证：四边形 ABCD是菱形； 【解】（ 1）证明：∵ AB＝ AC， ∴∠ B＝∠ BCA， ∴∠ EAC＝∠ B＋∠ BCA＝ 2∠ B， ∵ AD平分∠ FAC， ∴∠ FAD＝∠ B， ∴ AD∥ BC，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ 2分） ∴∠ D＝∠ DCE， ∵ CD平分∠ ACE， ∴∠ ACD＝∠ DCE， ∴∠ D＝∠ ACD，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ 3分） ∴ AC＝ AD；„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ 4分） （ 2）证明： ∵ ∠ B＝ 60176。 ， ∴∠ ACB＝ 60176。 ，∠ FAC＝∠ ACE＝ 120176。 ， ∴∠ DCE＝∠ B＝ 60176。 ，„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ 5分） ∴ DC∥ AB, ∵ AD∥ BC， ∴四边形 ABCD为平行四边形，„„„„„„„„„„„„„„„„„（ 6分） 又由（ 1）知 AC＝ AD， ∴ AB＝ AD， ∴四边形 ABCD是菱形．„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ 7分） 26. （ 2020 山东临沂， 25， 11 分 )如图 1，奖三角板放在正方形 ABCD 上，使三角板的直角顶点 E 与正方形 ABCD 的顶点 A 重合，三角板的一边交 CD 于点 F，另一边交 CB 的延长线于点 G． （ 1）求证： EF＝ EG； （ 2）如图 2，移动三角板，使顶点 E始终在正方形 ABCD的对角线 AC上，其他条件不变 ． （ 1）中的结论是否仍然成立。 若成立，情给予证明；若不成立，请说明理由； （ 3）如图 3，将（ 2）中的“正方形 ABCD”改为“矩形 ABCD”，且使三角板的一边经过点 B，其他条件不变，若 AB＝ a,BC＝ b，求 EGEF 的值 ． 图 1 图 2 图 3 （ 1）证明：∵∠ GEB＋∠ BEF＝ 90176。 ，∠ DEF＋∠ BEF＝ 90176。 ， ∴∠ DEF＝ GEB，„„„„„„„„„„„„„„„„„„（ 1分） 又∵ ED＝ BE， ∴ Rt△ FED≌ Rt△ GEB，„„„„„„„„„„„。