20xx年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(编辑修改稿)

20xx年全国初中数学联赛试题参考答案和评分标准(编辑修改稿)内容摘要：

0176。 . 作 CE⊥ AE， PF⊥ AE，则易证△ ACE≌△ ACD，所以 CE＝ CD＝ 12 BC. 又 PF＝ PAsin ∠ BAE＝ PAsin 60176。 ＝ 32 AP， PF＝ CE，所以 32 AP＝ 12 BC， 因此 BCAP ＝ 3 . 4． 已知实数 ,abc满足 1abc ， 4abc   ，2 2 2 43 1 3 1 3 1 9a b ca a b b c c     ，则2 2 2abc＝ ． 【答】 332 . 因为 223 1 3 ( 3 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )a a a a a b c a b c a a b c b c a b c              ，所以 2 13 1 ( 1 ) ( 1 )aa a b c   . 2020 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 3 页（共 7 页） FEDBCAP同理可得2 13 1 ( 1) ( 1)bb b a c   ，2 13 1 ( 1) ( 1)cc c a b   . 结合2 2 2 43 1 3 1 3 1 9a b ca a b b c c     可得 1 1 1 4( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 9b c a c a b       ，所以 4 ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )9 a b c a b c        . 结合 1abc ， 4abc   ，可得 14ab bc ac   . 因此， 2 2 2 2 33( ) 2 ( )2a b c a b c a b b c a c        . 实际上，满足条件的 ,abc可以分别为 11, ,422 . 第二试 （ A） 一、（本题满分 20 分） 已知直角三角形的边长均为整数，周长为 30，求它的外接圆的面积 . 解 设直角三角形的三边长分别为 ,abc（ abc ），则 30abc   . 显然，三角形的外接圆的直径即为斜边长 c ，下面先求 c 的值 . 由 abc及 30abc   得 30 3a b c c   ，所以 10c . 由 a b c 及 30abc   得 30 2a b c c   ，所以 15c . 又因为 c 为整数，所以 11 14c . …………………… 5 分 根据勾股定理可得 2 2 2a b c，把 30c a b   代入，化简得 30 ( ) 45 0 0ab a b   ，所以 22( 30 ) ( 30 ) 450 2 3 5ab     ， …………………… 10 分 因为 ,ab均为整数且 ab ，所以只可能是 2230 5 ,30 2 3 ,ab   解得 5, …………………… 15 分 所以，直角三角形的斜边长 13c ， 三角形的外接圆的面积为 1694 . …………………… 20 分 二．（本题满分 25分） 如图， PA 为⊙ O的切线， PBC为⊙ O 的割线， AD⊥ OP于点 ： 2AD BD CD. 证明： 连接 OA， OB， OC. ∵ OA⊥ AP， AD⊥ OP， ∴由射影定理可得 2PA PD PO， 2AD PD OD. …………………… 5 分 又由切割线定理可得 2PA P B P C，∴ P B P C PD PO   ，∴ D、 B、 C、 O 四点共圆， 2020 年全国初中数学联合竞赛试题参考答案及评分标准 第 4 页（共 7 页） DPOAB C…………………… 10 分 ∴∠ PDB＝∠ PCO＝∠ OBC＝∠ ODC，∠ PBD＝∠ COD，∴△ PBD∽△ COD， …………………… 20 分 ∴ PD BDCD OD，∴ 2A D P D O D B D C D   . …………………… 25 分 三．（本题满分 25 分） 已知抛物线 216y x bx c  。