南充高中20xx年自主招生考试数学试题(编辑修改稿)

南充高中20xx年自主招生考试数学试题(编辑修改稿)内容摘要：

_ 12． _____1_______ 13． ___0_________ 14． ______2 或－ 3____ 15． ___ 1300 _______ 16． ______27 13 3 ____ 三、解答题：（ 本大题共 6个小题 ,共 70分 ,解答应写出必要的说明 ,证明过程和推演步骤 ) 17.(本小题 10分 ) 能否在图中的四个圆圈内填入 4个互不相同的数，使得任意两个圆圈中所填的数的平方和等于另外两个圆圈中所填数的平方和。 如果能填，请填出一个例；如果不能填，请说明理由。 解： 不能填。 …………………………………… 2 分 理由如下： 设所填的互不相同的 4个数为 a, b, c, d；则有 ………………… 6 分 ①－②得 2222 cddc  即 22 dc  因为： c≠ d，只能是 c = d ④ 同理可得 22 bc  因为 c ≠ b ,只能 c = b ⑤ 比较④，⑤得 b=d ,与已知 b≠ d 矛盾，所以题设要求的填数法不存在。 ………… 10分 ① ② ③ 南充高中 2020 年面向省内外自主招生考试数学试卷 第 8 页 共 13 页 18. (本小题 12 分 ) 如图是一个长为 400 米的环形跑道，其中Ａ，Ｂ为跑道对称轴上的两点，且Ａ，Ｂ之间有一条 50 米的直线通 道．甲乙两人同时从Ａ点出发，甲按逆时针方向以速度 1v 沿跑道跑步，当跑到Ｂ时继续沿跑道前进，乙按顺时针方向以速度 2v 沿跑道跑步，当跑到Ｂ时沿直线通道跑回Ａ点处，假设两人跑步的时间足够长．求： （ 1）如果 12: 3:2vv ，那么甲跑了多少路程后，两人首次在Ａ点处相遇； （ 2）如果 12: 5:6vv ，那么乙跑了多少路程后，两人首次在Ｂ点处相遇． 解：（ 1）设甲跑了 n 圈后，两人首次在 A点处相遇，再设甲、乙 两人的速度分别为 123 , 2v m v m 由题意可得在 A处相遇时，他们跑步的时间是 400 800233n mnm  因乙跑回到 A 点处，所以 8003n应是 250 的整数倍，从而知 n 的最小值是 15，此时，甲跑过的路程为 400 15=6000（米） 故甲跑了 6000米后，两人首次在 A点处相遇……………………………… .6分 （ 2）设乙跑了 250p+200米，甲跑了 400q+200米时，两人首次在 B处相遇，设甲、乙两人的速度分别为 125 , 6v m v m，由题意可得 4 0 0 2 0 0 2 5 0 2 0 056qpmm ，即8 4 5 456qp 所以 48 24 25 20qp  ，即 48 4 25 ( ,q p p q 均 为 正 整 数 ）， pq 的最小值为2 与 4 此时，乙跑过的路程为 250 4+200=1200米 故乙跑了 1200米后，两人首次在 B点处相遇……………………………………… ..12分 19. (本小题 12 分 ) 已知：如图， BD 为⊙ O 的直径，点 A 是劣弧 BC 的中点， AD 交 BC于点 E，连结 AB. （ 1）求证： 2AB AE AD； （ 2）过点 D 作⊙ O 的切线，与 BC 的延长线交于点 F， 若 AE=2， ED=4，求 EF 的长． （ 1）证明：如图 4． ∵ 点 A 是劣弧 BC 的中点， ∴ ∠ ABC＝ ∠ ADB． ……………………… 2 分 又 ∵ ∠ BAD＝ ∠ EAB， ∴ △ ABE∽△ ADB． ……………………… 4 分 ∴ AB ADAE AB ． ∴ 2AB AE AD． ……………………………………………………… 6 分 A B 甲 乙 甲 乙 南充高中 2020 年面向省内外自主招生考试数学试卷 第 9 页 共 13 页 （ 2）解： ∵ AE=2， ED=4， ∴  2 2 6 12A B A E A D A E A E E D      ． ∴ 23AB （舍负）． ……………………………………………………… 8 分 ∵ BD 为⊙ O 的直径， ∴ ∠ A=90 ． 又∵ DF 是⊙ O 的切线， ∴ DF⊥ BD. ∴ ∠ BDF=90 ． 在 Rt△ ABD 中， 2 3 3ta n 63ABADB AD   ， ∴ ∠ ADB=30 ． ∴ ∠ ABC=∠ ADB=30 . ∴∠ DEF=∠ AEB= 60 ， 9 0 3 0 6 0EDF BDF ADB          ． ∴ ∠ F =1 8 0 6 0DE F ED F      ． ∴ △ DEF 是等边三角形 ． ∴ EF=DE=4． ……………………………………………………………… 12 分 20. (本小题 12分 ) 2020 年 3 月 11 日 13 时 46 分日本发生了 ，伴随着就是海啸。 山坡上有一棵与水平面垂直的大树，海啸过后，大树被刮倾。