安徽省蚌埠二中20xx届高三数学下学期模拟测试(一)_文_新人教a版【会员独享】(编辑修改稿)

安徽省蚌埠二中20xx届高三数学下学期模拟测试(一)_文_新人教a版【会员独享】(编辑修改稿)内容摘要：

AB⊥平面 BCE． „„„„„„ 3分 因为 CE平面 BCE，所以 CE⊥ AB． 因为 CE⊥ BE， AB平面 ABE， BE平面 ABE， AB∩ BE＝ B， 所以 CE⊥平面 ABE． „„„„„„„„„„ 6分 因为 CE平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 ABE． „„„„„„„„„„ 8分 （ 2）连结 BD交 AC于点 O，连结 OF． 因为 DE∥平面 ACF， DE平面 BDE，平面 ACF∩平面 BDE＝ OF， 所以 DE//OF． „„„„„„„„„„ 12分 又因为矩形 ABCD中， O为 BD中点， 所以 F为 BE中点，即 BMBF＝ 12． „„„ 14分 17． 如图 ， 在 平面直 角 坐标 系 xOy中， 椭圆 C： x2a2＋y2b2＝ 1(a＞ b＞ 0)的离心率为32 ，以原点为圆心，椭圆 C的短半轴长为半径的圆与直线 x－ y＋ 2＝ 0相切． （ 1）求椭圆 C的方程； （ 2） 已知点 P(0， 1)， Q(0， 2)．设 M， N是椭圆 C上关于 y轴对称的不同 两点， 直线 PM与 QN相 交于点 T， 求证： 点 T在 椭圆 C上 ． 解： （ 1）由题意知 b＝ 22＝ 2． 因为离心率 e＝ ca＝ 32 ，所以 ba＝ 1－ (ca)2＝ 12． 所以 a＝ 2 2． 所以 椭圆 C的方程 为 x28＋y22＝ 1． （ 2）证明：由题意可设 M， N的坐标分别为 (x0， y0)， (－ x0， y0)，则 直线 PM的方程为 y＝ y0－ 1x0x＋ 1， ① 直线 QN的方程为 y＝ y0－ 2－ x0x＋ 2． ② „„„„„„„„„„ 8分 A B C D E F (第 16 题图） O 用心 爱心 专心 8 (第 18 题图） C A B D l 证法一 联立①②解得 x＝ x02y0－ 3， y＝ 3y0－ 42y0－ 3，即 T( x02y0－ 3， 3y0－ 42y0－ 3)．„„„ 11分 由 x028＋y022 ＝ 1可得 x02＝ 8－ 4y02． 因为 18( x02y0－ 3)2＋ 12(3y0－ 42y0－ 3)2＝ x02＋ 4(3y0－ 4)28(2y0－ 3)2 ＝ 8－ 4y02＋ 4(3y0－ 4)28(2y0－ 3)2 ＝32y02－ 96y0＋ 728(2y0－ 3)2 ＝8(2y0－ 3)28(2y0－ 3)2＝ 1， 所以 点 T坐标满足 椭圆 C的方程 ，即 点 T在 椭圆 C上 ． „„„„„„„ 14分 证法二 设 T(x， y)． 联立①②解得 x0＝ x2y－ 3， y0＝ 3y－ 42y－ 3． „„„„„„„„„ 11分 因为 x028 ＋y022 ＝ 1，所以18(x2y－ 3)2＋ 12(3y－ 42y－ 3)2＝ 1． 整理得 x28＋(3y－ 4)22 ＝ (2y－ 3)2，所以 x28＋9y22 － 12y＋ 8＝ 4y2－ 12y＋ 9，即 x28＋y22＝ 1． 所以 点 T坐标满足 椭圆 C的方程 ，即 点 T在 椭圆 C上 ． „„„„„„„ 14分 18．某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一个对角线在 l上的四边形电气线路，如图所示．为 充分 利用现有材料，边 BC， CD用一根 5米长的材料弯折而成，边 BA， AD用一根 9米长的材料弯折而成，要求∠ A和∠ C互补，且 AB＝ BC． （ 1）设 AB＝ x米， cosA＝ f(x)，求 f(x)的解析式，并指出 x的 取值范围；（ 2）求四边形 ABCD面积的最大值． 解： （ 1）在△ ABD中，由余弦定理得 BD2＝ AB2+AD2－ 2AB AD cosA． 同理 ， 在 △ CBD中 ， BD2＝ CB2+CD2－ 2CB CD cosC． „„„„„„„ 3分 因为∠ A和∠ C互补， 所以 AB2+AD2－ 2AB AD cosA＝ CB2+CD2－ 2CB CD cosC ＝ CB2+CD2＋ 2CB CD cosA． „„„„ 5分 即 x2+(9－ x)2－ 2 x(9－ x) cosA＝ x2+(5－ x)2＋ 2 x(5－ x) cosA． 解 得 cosA＝ 2x，即 f( x)＝ 2x．其中 x∈ (2， 5)． „„„„„„„„„ 8分 （ 2）四边形 ABCD的面积 S＝ 12(AB AD+ CB CD)sinA＝ 12[x(5－ x)+x(9－ x)] 1－ cos2A． ＝ x(7－ x) 1－ (2x)2＝ (x2－ 4)(7－ x)2＝ (x2－ 4)( x2－ 14x＋ 49)．„„„„ 11分 用心 爱心 专心 9 记 g(x)＝ (x2－ 4)( x2－ 14x＋ 49)， x∈ (2， 5)． 由 g′ (x)＝ 2x( x2－ 14x＋ 49)＋ (x2－ 4)( 2 x－ 14)＝ 2(x－ 7)(2 x2－ 7 x－ 4)＝ 0， 解得 x＝ 4(x＝ 7和 x＝－ 12舍 )． „„„„„„„„„ 14分 所以函数 g(x)在区间 (2， 4)内单调递增，在区间 (4， 5)内单调递减． 因此 g(x)的最大值为 g(4)＝ 12 9＝ 108． 所以 S的最大值为 108＝ 6 3． 答：所求四边形 ABCD面积的最大值为 6 3m2． „„„„„„„„„ 16分 19．（本小题满分 16 分） 函数 f(x)＝∣ ex－ bx∣，其中 e为自然对数的底 ． （ 1）当 b＝ 1时， 求曲线 y＝ f(x)在 x＝ 1处的切线方程 ； （ 2）若函数 y＝ f(x)有且只有一个零点，求实数 b的取值范围； （ 3）当 b＞ 0时，判断函数 y＝ f(x)在区间 (0， 2)上是否存在极大值．若存在，求出极大值及相应实数 b的取值范围． 解： （ 1）记 g(x)＝ ex－ bx．当 b＝ 1时， g(x)＝ ex－ 1． 当 x＞ 0时， g(x)＞ 0，所以 g(x)在 (0，＋∞ )上为增函数． 又 g(0)＝ 1＞ 0，所以当 x∈ (0，＋∞ )时， g(x)＞ 0． 所以当 x∈ (0，＋∞ )时， f(x)＝∣ g(x)∣＝ g(x)，所以 f(1)＝ g(1)＝ e－ 1． 所以曲线 y＝ f(x)在点 (1， e－ 1)处的切线方程为： y－ (e－ 1)＝ (e－ 1)(x－ 1)， 即 y＝ (e－ 1)x． „„„„„„ 4分 （没有说明“在 x＝ 1附近， f(x)＝ ex－ bx”的扣 1分 ) （ 2）解法一 f(x)＝ 0同解于 g(x)＝ 0，因此，只需 g(x)＝ 0有且只有一个解． 即方程 ex－ bx＝ 0有且只有一个解． 因为 x＝ 0不满足方程，所以方程同解于 b＝ exx． „„„„„„„„„„ 6分 令 h(x)＝ exx， 由 h(x)＝(x－ 1)exx2 ＝ 0得 x＝ 1． 当 x∈ (1，＋∞ )时， h(x)＞ 0， h(x)单调递增， h(x)∈ (e，＋ ∞ )； 当 x∈ (0， 1)时， h(x)＜ 0， h(x)单调。