自考线性代数经管类讲义(编辑修改稿)

自考线性代数经管类讲义(编辑修改稿)内容摘要：

即为例 2 中矩阵，是可逆的，在矩阵方程两边左乘 1A ，得 2052032134111132141241BAX 也能用初等行变换法，不用求出 1A  ，而直接求 BA 1 ),(20xx0520xx03001214213441211311),(1BAEBA 则 2052031BAX （六）矩阵的秩 1 ． 秩的定义 设 A 为nm 矩阵，把 A 中非零子式的最高阶数称为 A 的秩，记为秩)( A或)( Ar 零矩阵的秩为 0 ，因而 nmA ,m i n)(0  秩，对 n 阶方阵 A ，若秩nA )(，称 A 为满秩矩阵，否则称为降秩矩阵 . 2 ． 秩的求法 由于阶梯形矩阵的秩就是矩阵中非零行的行数，又矩阵初等变换不改变矩阵的秩 . 对任一个矩阵A ，只要用初等行变换把 A 化成阶梯形矩阵 T ，则秩 ( A ) = 秩 ( T ) = T 中非零行的行数 . 3 ．与满秩矩阵等价的条件 n 阶方阵 A 满秩A 可逆，即存在 B ，使 EBAAB  A 非奇异，即0A A 的等价标准形为 E A 可以表示为有限个初等方阵的乘积 齐次线性方程组0AX只有零解 对任意非零列向量 b ，非齐次线性方程组bAX 有唯一解 A 的行（列）向量组线性无关 A 的行（列）向量组为 nR 的一个基 任意 n 维行（列）向量均可以表示为 A 的行（列）向量组 的线性组合，且表示法唯一 . A 的特征值 均不为零  AAT 为正定矩阵 . （七）线性方程组的消元法 . 对任一个线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 可以表示成矩阵形式bAX ，其中nmijaA  )(为系数矩阵，Tmbbbb ),( 21 为常数列矩阵，TnxxxX ),( 21 为未知元列矩阵 . 从而线性方程组bAX 与增广矩阵),( bAA 一一对应 . 对于给定的 线性方程组，可利用矩阵的初等行变换，把它的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵，从而得到易于求解的同解线性方程组，然后求出方程组的解 . 例 4 解线性方程组.023,1,1432132321xxxxxxxx 解： 把线性方程组的增广矩阵化成简化阶梯形矩阵：  1 , 3131 4 1 1 1 3 2 0( , ) 0 1 1 1 0 1 1 11 3 2 0 1 4 1 11 0 5 3 1 0 5 30 1 1 1 0 1 1 10 1 1 1 0 0 0 0Ab                                           交 换 行行 行2 行 1 +3 行2 行 3+1 行　 得到同解线性方程组 1353231xxxx 即1323531xxxx   或132333531xxxxxx   取3x为自由未知量，可知方程组有无穷多解，上式就是所给方程组的一般解 . 第三章 向量空间 （一） n 维向量的定义与向量组的线性组合 1 ． n 维向量的定义与向量的线性运算 由 n 个数组成的一个有序数组称为一个 n 维向量，若用一行表示，称为 n 维行向量，即n1矩阵，若用一列表示，称为 n 维列向量，即1n矩阵 与矩阵线性运算类似，有向量的线性运算及运算律 . 2 ．向量的线性组合 设m , 21 是一组 n 维向量，mkkk , 21 是一组常数，则称 mmkkk   2211 为m , 21 的一个线性组合，常数mkkk , 21 称为组合系数 . 若一个向量可以表示成 mmkkk   2211 则称是m , 21 的线性组合，或称可用m , 21 线性表出 . 3 ．矩阵的行、列向量组 设 A 为一个nm 矩阵，若把 A 按列分块，可得一个 m 维列向量组称之为 A 的列向量组 . 若把 A 按行分块，可得一个 n 维行向量组称之为 A 的行向量组 . 4 ．线性表示的判断及表出系数的求法 . 向量能用m , 21 线性表出的充要条件是线性方程组  mmxxx 2211有解，且每一个解就是一个组合系数 . 例 1 问T)5,1,1( 能否表示成T)3,2,1(1 ，T)4,1,0(2 ，T)6,3,2(3 的线性组合。 解： 设线性方程组为   332211 xxx 对方程组的增广矩阵作初等行变换：  110020xx1001564313121201),(),(321A 则方程组有唯一解1,2,1 321  xxx 所以可以唯一地表示成321 , 的线性组合，且321 2   （二）向量组的线性相关与线性无关 1 ． 线性相关性概念 设m , 21 是 m 个 n 维向量，如果存在 m 个不全为零的数mkkk , 21 ，使得 02211  mmkkk  ，则称向量组m , 21 线性相关，称mkkk , 21 为相关系数 . 否则，称向量m , 21 线性无关 . 由定义可知，m , 21 线性无关就是指 向量等式02211  mmkkk  当且仅当021  mkkk 时成立 . 特别 单个向量线性相关 0； 单个向量线性无关 0 2 ．求相关系数的方法 设m , 21 为 m 个 n 维列向量，则m , 21 线性相关m 元齐次线性方程组02211  mmxxx  有非零解，且每一个非零解就是一个相关系数矩阵),( 21 mA  的秩小于 m 例 2 设向量组1 2 3( 2 , 1 , 7 ) , ( 1 , 4 , 1 1 ) , ( 3 , 6 , 3 )T T T      ，试讨论其线性相关性 . 解 ： 考虑方程组0332211   xxx 其系数矩阵 0001102013117641312),(321A 于是，秩32)( A，所以向量组线性相关，与方程组同解的方程组为 0023231xxxx 令13 x，得一个非零解为1,1,2 321  xxx 则02 321   3 ．线性相关性的若干基本定理 定理 1 n 维向量组m , 21 线性相关至少有一个向量是其余向量的线性组合 . 即m , 21 线性无关任一个向量都不能表示为其余向量的线性组合 . 定理 2 如果向量组m , 21 线性无关，又m , 21 线性相关，则可以用m , 21 线性表出，且表示法是唯一的 . 定理 3 若向量组中有部分组线性相关，则整体组也必相关，或者整体无关，部分必无关 . 定理 4 无关组的接长向量组必无关 . （三）向量组的极大无关组和向量组的秩 1 ．向量组等价的概念 若向量组 S 可以由向量组 R 线性表出，向量组 R 也可以由向量组 S 线性表出，则称这两个向量组等价 . 2 ．向量组的极大无关组 设 T 为一个向量组，若存在 T 的一个部分组 S ，它是线性无关的，且 T 中任一个向量都能由 S线性表示，则称部分向量组 S 为 T 的一个极大无关组 . 显然，线性无关向量组的极大无关组就是其本身 . 对于线性相关的向量组，一般地，它的极大无关组不是唯一的，但有以下性质： 定理 1 向量组 T 与它的任一个极大无关组等价，因而 T 的任意两个极大无关组等价 . 定理 2 向量组 T 的任意两个极大无关组所含向量的个数相同 . 3 ．向量组的秩与矩阵的秩的关系 把向量组 T 的任意一个极大无关组中的所含向量的个数称为向量组 T 的秩 . 把矩阵 A 的行向量组的秩，称为 A 的行秩，把 A 的列向量组的秩称为 A 的列秩 . 定理： 对任一个矩阵 A ， A 的列秩 =A 的行秩 = 秩（ A ） 此定理说明，对于给定的向量组，可以按照列构造一个矩阵 A ，然后用矩阵的初等行变换法来求出向量组的秩和极大无关组 . 例 3 求出下列向量组的秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表出： )3,4,4,2(),3,4,1,2(),6,6,1,1(),9,2,2,1(),7,2,1,1( 54321   解 ： 把所有的行向量都转置成列向量，构造一个54 矩阵，再用初等行变换把它化成简化阶梯形矩阵   BATTTTT100000110001010000013。