直线圆的方程考试难点总结(编辑修改稿)

直线圆的方程考试难点总结(编辑修改稿)内容摘要：

圆心是坐标（ 1，－ 3），半径为 221 452r D E F   。 点评：“待定系数法”是求圆的方程的常用方法 ． 一般地，在选用圆的方程形式时，若问题涉及圆心和半径，则选用标准方程比较方便，否则选用一般方程方便些。 例 8．若方程 x y m x m y m2 2 2 42 3 2 1 4 16 9 0       ( ) ( )。 （ 1）当且仅当 m 在 什么范围内，该方程表示一个圆。 （ 2）当 m 在以上范围内变化时，求圆心的轨迹方程。 解析： （ 1）由 x y m x m y m2 2 2 42 3 2 1 4 16 9 0       ( ) ( )， ， ExyOCBA 图 4－ 1 第 12 页 共 25 页 当且仅当 1 6 7 02  m m 时， 即 m m|   17 1时，给定的方程表示一个圆。 （ 2）设圆心坐标为 ( )x y， ，则 x my m m     34 1 17 12 ( )（ m 为参数）。 消去参数 m    y x4 3 12( )，      y x x4 3 1 207 42( ) ( )为所求圆心轨迹方程。 点评：圆的一般方程 022  FEyDxyx ，圆心为点 )2,2( ED ，半径2 422 FEDr  ，其中 0422  FED。 题型 5：圆的综合问题 例 9． 如图 2，在平面直角坐标系中，给定 y 轴正半轴上两点 A（ 0， a）， B（ 0， b）（ a b 0 ），试在 x 轴正半轴上求一点 C，使∠ ACB 取得最大值。 解析：设 C 是 x 轴正半轴上一点，在△ ABC 中由正弦定理，有 sin ACB a bR 2。 其中 R 是△ ABC 的外接圆的半径。 可见，当 R 取得最小值时，∠ ACB 取得最大值。 在过 A、 B 两定点且与 x 轴正向有交点 C 的诸圆 中，当且仅当点 C 是圆与 x 轴的切点时，半径最小。 故切点 C 即为所求。 由切割线定理，得： OC OA OB ab2  178。 所以 OC ab ，即点 C 的坐标为  ab， 0 时，∠ ACB 取得最大值。 点评：圆是最简单的二次曲线，它在解析几何及其它数学分支中都有广泛的应用。 对一些数学问题，若能作一个辅助圆，可以沟通题设与结论之间的关系，从而使问题得第 13 页 共 25 页 解，起到铺路搭桥的作用。 例 10．已知⊙ O′过定点 A(0， p)(p0)，圆心 O′在抛 物线 x2=2py 上运动， MN 为圆 O′截 x 轴所得的弦，令 |AM|=d1， |AN|=d2， ∠ MAN=θ。 （ 1）当 O′点运动时， |MN|是否有变化。 并证明你的结论； （ 2）求21dd +12dd 的最大值，并求取得最大值的θ值。 解析：设 O′ (x0， y0)，则 x02=2py0 (y0≥ 0)，⊙ O′的半径 |O′ A|= 2020 )( pyx  ，⊙ O′的方程为 (xx0)2+(yy0)2=x02+(y0p)2。 令 y=0，并把 x02=2py0 代入得 x2－ 2x0x+x02－ p2=0，解得 xM=x0 – p， xN=x0+p， ∴ |MN|=| xN – xM|=2p 为定值。 （ 2）∵ M(x0p， 0) ， N(x0+p， 0) ∴ d1= 202 )( pxp ， d2= 202 )( pxp ，则 d12+d22=4p2+2x02 ，d1d2= 4044 xp ， ∴12dd +21dd =212122dd dd =404202424xpxp =240422024)2(xpxp =2404202441xpxp≤22022022241xpxp=2 2。 当且仅当 x02=2p2，即 x=177。 2 p， y0=p 时等号成立，∴21dd +12dd 的最大值为 2 2。 此时 |O′ B|=|MB|=|NB|（ B 为 MN 中点），又 O′ M=O′ N， ∴△ O′ MN 为等腰直角三角形，∠ MO′ N=90176。 ，则θ =21∠ MO′ N=45176。 点评：数形结合既是数学学科的重要思想，又是数学研究的常用方法。 五．思维总结 抓好“三基”，把握重点，重视低、中档题的复习，确保选择题的成功率。 本讲所涉及到的知识都是平面解析几何中最基础的内容 .它们渗透到平面解析几何的各个部分，正是它们构成了解析几何问题的基础，又是解决 这些问题的重要工具之一 .这就要求我们必须重视对“三基”的学习和掌握，重视基础知识之间的内在联系，注意基第 14 页 共 25 页 本方法的相互配合，注意平面几何知识在解析几何中的应用，注重挖掘基础知识的能力因素，提高通性通法的熟练程度，着眼于低、中档题的顺利解决。 在解答有关直线的问题时，应特别注意的几个方面： （ 1）在确定直线的斜率、倾斜角时，首先要注意斜率存在的条件，其次要注意倾角的范围； （ 2）在利用直线的截距式解题时，要注意防止由于“零截距”造成丢解的情况 .如题目条件中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”“截距互为相反数”“在一 坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的 m 倍（ m＞ 0）”等时，采用截距式就会出现“零截距”，从而丢解 .此时最好采用点斜式或斜截式求解； （ 3）在利用直线的点斜式、斜截式解题时，要注意防止由于“无斜率”，从而造成丢解 .如在求过圆外一点的圆的切线方程时或讨论直线与圆锥曲线的位置关系时，或讨论两直线的平行、垂直的位置关系时，一般要分直线有无斜率两种情况进行讨论； （ 4） 首先 将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题；分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题。 这种思想 应贯穿平面解析几何教学的始终。 普通高中课程标准实验教科书 — 数学 [人教版 ] 高三新 数学 第一轮复习教案（讲座 12） — 空间中的夹角和距离 一．课标要求： 1． 掌握两条直线所成的角和距离的概念 及等角定理； （对于异面直线的距离，只要求会计算已给出公垂线时的距离）。 2．掌握点、直线到平面的距离，直线和平面所成的角； 3．掌握平行平面间的距离，会求二面角及其平面角； 二．命题走向 高考立体几何试题一般共有 4 道 (选择、填空题 3 道 , 解答题 1 道 ), 共计总分 27 分左右 ,考查的知识点在 20 个以内。 随着新的课程改革的进一步实施 ,立体几何考题正朝着“多一点思考 ,少一点计算”的发展，从历年的考题变化看 , 以多面体和旋转体为载体的线面位置关系的论证，角与距离的探求是常考常新的热门话题。 预测 07 年高考试题： （ 1）单独求夹角和距离的题目多为选择题、填空题，分值大约 5 分左右；解答题中的分步设问中一定有求夹角、距离的问题，分值为 6 分左右； （ 2） 选择、填空题考核立几中的计算型问题 , 而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题 , 当然 , 二者均应以正确的空间想象为前提。 三．要点精讲 1．距离 空间中的距离是 立体几何的重要内容，其内容主要包括：点点距，点线距，点面距，线线距，线面距，面面距。 其中重点是点点距、点线距、点面距以及两异面直线间的距离．因此，掌握点、线、面之间距离的概念，理解距离的垂直性和最近性，理解距离都第 15 页 共 25 页 指相应线段的长度，懂得几种距离之间的转化关系，所有这些都是十分重要的。 求距离的重点在点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。 （ 1）两条异面直线的距离 两条异面直线的公垂线在这两条异面直线间的线段的长度，叫 做两条异面直线的距离； 求法：如果知道两条异面直线的公垂线，那么就转化成求公垂线段的长度。 （ 2）点到平面的距离 平面外一点 P 在该平面上的射影为 P′，则线段 PP′的长度就是点到平面的距离；求法： ○ 1 “一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。 ○ 2 等体积法。 （ 3）直线与平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到平面的距离，叫做这条直线和平面的距离； （ 4）平行平面间的距离：两个平行平面的公垂线段的长度，叫做两个平行平面的距离。 求距离的一 般方法和步骤：应用各种距离之间的转化关系和“平行移动”的思想方法，把所求的距离转化为点点距、点线距或点面距求之，其一般步骤是：①找出或作出表示有关距离的线段；②证明它符合定义；③归到解某个三角形．若表示距离的线段不容易找出或作出，可用体积等积法计算求之。 异面直线上两点间距离公式，如果两条异面直线 a 、 b 所成的角为 ，它们的公垂线 AA′的长度为 d ，在 a 上有线段 A′ E ＝m ， b 上有线段 AF ＝ n ，那么 EF ＝ c o s2222 mnnmd  （“177。 ”符号由实际情况选定） 2．夹角 空间 中的各种角包括异面直线所成的角，直线与平面所成的角和二面角，要理解各种角的概念定义和取值范围，其范围依次为 ( 0176。 ， 90176。 ] 、 [0176。 ， 90176。 ]和 [0176。 ， 180176。 ]。 （ 1）两条异面直线所成的角 求法： ○ 1 先通过其中一条直线或者两条直线的平移，找出这两条异面直线所成的角，然后通过解三角形去求得； ○ 2 通过两条异面直线的方向量所成的角来求得，但是注意到异面直线所成角得范围是 ]2,0(  ，向量所成的角范围是 ],0[  ，如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角。 第 16 页 共 25 页 （ 2）直线和平面所成的角 求法：“一找二证三求”，三步都必须要清楚地写出来。 除特殊位置外，主要是指平面的斜线与平面所成的角，根据定义采用“射影转化法”。 （ 3） 二面角的度量是通过其平面角来实现的 解决二面角的问题往往是从作出其平面角的图形入手，所以作二面角的平面角就成为解题的关键。 通常的作法有：（Ⅰ）定义法；（Ⅱ）利用三垂线定理或逆定理；（Ⅲ）自空间一 点作棱垂直的垂面，截二面角得两条射线所成的角，俗称垂面法．此外，当作二面角的平面角有困难时，可用射影面积法解之， cos ＝SS，其中 S 为斜面面积， S′为射。