湖南师大附中20xx第五次月考数学试题(编辑修改稿)

湖南师大附中20xx第五次月考数学试题(编辑修改稿)内容摘要：

)2 4 2k x k k Z        （， 32 2 )44k x k Z    （  ()fx的递减区间为 3[ 2 2 ] )44k k k Z  ， （ （ 2） (2fA） ， 2 s in ( ) 24A     . 242Ak   kZ 又因为 0,2A ， 4A  在 ABC 中， 2 2 2 2 c osa b c bc A   即 2 2 2) 2 ( 2 2 )b c bc bc    (2 2 22bc   （当且仅当 bc 时取等号） 1 1 2 2 1s in ( 2 2 )2 2 2 2 2S b c A         ABC 的面积的最大值为 2122 1（本小题满分 12 分） 在三棱锥 S ABC 中，△ ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC ⊥平面 ABC ， 23SA SC ， M 、 N 分别为 AB 、 SB 的中点 . （Ⅰ）证明： AC SB ； （Ⅱ）求二面角 N CM B的 余弦 值； （Ⅲ）求点 B 到 平面 CMN 的距离 . 解析 ： 解法一 ： （Ⅰ）取 AC 中点 D ，连结 SD 、 BD . ∵ SA SC AB BC AC SD   ， ， ， AC BD 又 BD SD D ， ∴ AC 平面 SDB ，又 SB 平面SDB ， AC SB. （Ⅱ）∵ AC 平面 SDB ， AC 平面 ABC ∴平面 SDB 平面 ABC . 过 N 作 NE BD 于 E ， 则 NE 平面 ABC ， 过 E 作 EF CM 于 F ，连结 NF ，则 NF CM . ∴ NFE 为二面角 N CM B的平面角 .∵平面SAC 平面 ABC ， SD AC ， ∴ SD 平面 ABC .又∵ NE 平面 ABC ， ∴ NE ∥ SD . ∵ SN NB ，∴ 221 1 1 1 2 4 22 2 2N E S D S A A D     ， 且 ED EB .在正△ ABC 中，由平几知识可求得 1142EF MB， 在 Rt NEF 中， tan NFE  ENEF=22， 1cos3NFE. ∴二面角 N CM B的余弦值为 13. （Ⅲ）在 Rt NEF 中， NF 22EF EN  32， ∴ CMNS 12 CM NF 3 32, CMBS 12 BMCM 23 设点 B 到平面 CMN 的距离为 h ，∵ B CMN N CMBVV ， NE ⊥平面 CMB ，∴ 13 CMNS h =13 CMBS NE ， ∴ h CMBCMNS NES = 423 .即点 B 到平面 CMN 的距离为 423 . 解法二：（Ⅰ）取 AC 中点 O ，连结 OS 、 OB .∵ SA SC ， AB BC ，∴ AC SO 且 AC BO . ∵平面 SAC ⊥平面 ABC ， 平面 SAC ∩平面 ABC AC . ∴ SO⊥面 ABC ，∴ SO BO . 如图所示建立空间直角坐标系 O xyz 则 (2,0,0)A ， (0,2 3,0)B ， (2,0,0)C ， (0,0,2 2)S ， (1, 3,0)M ， (0, 3, 2)N ∴ ( 4,0,0)AC  ， (0, 2 3 , 2 2 )SB  ， ∵ 0AC SB， ∴ AC SB . （Ⅱ）由（Ⅰ）得 (3,3 3, 0)CM  ， ( 1, 0, 2 )MN  ，设 ( , , )n x y z 为平面 CMN 的一个法向量，则 3 3 020C M n x yMN n x z         取 1z ，则 2x ， 6y ， ∴ ( 2, 6,1)n ， 又 (0, 0, 2 2 )OS  为平面 ABC 的一个法向量， 1co s ,3n O Sn O S n O S   .∴ 二面角 N CM B的余弦值为 13. （Ⅲ）由（Ⅰ）（Ⅱ）得 ( 1, 3, 0)MB  ， ( 2, 6,1)n 为平面 CMN 的一个法向量， ∴点 B 到平面 CMN 的距离 423n MBdn. 18． (本小题满分 12 分 ) 某商场 准备在春节期间举行促销活动，根据市场调查，该商场决定从 2 种服装， 2 种家电，3 种日用品这 3 类商品中，任意选出 3 种商品进行促销活动。 （ 1） 试求选出的 3 种商品中至少有一种是日用商品的概率； （ 2） 商场对选出的某商品采用的促销方案是有奖销售，即在该商品现价的基础上将价格 提高 150 元，同时，若顾客购买该商品，则允许有 3 次抽奖的机会，若中奖，则每次中奖都获得数额为 m 元的奖金。 假设顾客每次抽奖时获奖与否的概率都是 12，请问：商场应将每次中奖奖金数额 m 最高定为多少元，才能使促销方案 对商场有利。 解析：（ 1）从 2 种服装， 2 种家电， 3 种日用品中，任选出 3 中商品一共有 37C 种选法，选出的 3 种商品中没有日用品的选法有 34C 种，所以选出的 3 种商品中至少有一种日用商品的概率为 3437 311 35CP C  。 （ 2）顾客在三次抽奖中所获得的奖金总额是一个随机变量，设为 X，其所有可能值为 0，m,2m,3m. 当 X=0 时，表示顾客在三次抽奖中都没有获奖，所以 0 0 33 1 1 1( 0 ) ( ) .( )2 2 8P X C  , 同理可得 1 1 23 1 1 3( ) ( )。