岩土工程师数学考试重点内容讲解(编辑修改稿)

岩土工程师数学考试重点内容讲解(编辑修改稿)内容摘要：

我们再来说明微分的几何意义。 如下图所示： 基本初等函数的微分公式与微分运算法则。 微分中值定理与导数的应用。 ：如下图所示， 如果函数在定义区间上连续，除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续，那么只要用方程 f’(x)=0的根及 f’(x) 不存在的点来划分函数 f(x)的定义区间，就能保证 f’(x) 在各个部分区间保持固定符号，因而函数 f(x)在每个部分区间上单调。 函数的极值判定：设函数 f(x)在区间（ a,b）内有定义， x0是（ a,b）内的一个点，如果存在着点 x0 的一个邻域，对于这邻域内的任何点 x，除了点 x0 外， f(x)f(x0)均成立，就称 f(x0)是函数 f(x)的一个极小值。 必要条件：设函数 f(x)在点 x0 处具有导数，且在 x0处取得极值，那么这函数在 x0 处的导数 f’(x)=0。 使导数为 0 的点叫做函数 f(x)的驻点。 第一种充分条件：设函数 f(x)在点 x0 的一个邻域内可导且 f’(x)=0 如果当 x取 x0左侧邻近的值时，f’(x) 恒为正，当 x取 x0右侧邻近的值时， f’(x) 恒为负，那么 f(x)在 x0 处取得极大值；如果当 x 取x0左侧邻近的值时， f’(x) 恒为负，当 x取 x0右侧邻近的值时， f’(x) 恒为正，那么 f(x)在 x0处取得极小值；如果当 x取 x0左右两侧邻近的值时， f’(x) 恒为正或恒为负，那么函数 f(x)在 x0 处没有极值。 第二种充分条件：设函数 f(x)在点 x0处具有二阶导数且 f’(x0)=0 ， f’(x0)≠0 ，那么（ 1）当 f’’(x0)0时，函数 f(x) 在 x0处取得极大值；（ 2） f’’(x0)0 时，函数 f(x) 在 x0处取得极小值。 例 1求函数 f(x)=（ x21） 3+1的极值。 解： f’(x)=6x （ x21） 2令 f’(x)=0 ，求得驻点 x1=1,x2=0,x3=1， f’’(x)=6 （ x21） (5x21),因f’’(0)=60,f(x) 在 x=0 处取得极小值，极小值为 0；因 f’’( 1)= f’’(+1)=0, 用定理无法判别，只能看导数 f’(x) 在驻点 x1=1， x3=1左右邻近的符号。 当 x 取 1左侧邻近的值时， f’(x)0 ，当 x取 1 右侧邻近的值时， f’(x)0 ，所以在 x=1处没有极值。 函数的最大值和最小值的判定：设 f(x)在 (a,b)内的驻点为 x1,x2,„xn 则比较 f(a)、 f(x1)、f(x2)„f(xn),f(b) 的大小，其中最大的便是 f(x)在 [a,b]上的最大值，最小的便是 f(x)在 [a,b]上的最小值。 例 1求函数 y=2x3+3x212x+14 在 [3， 4]上的最大值与最小值。 解： f(x)= 2x3+3x212x+14,f’(x)=6x 2+6x12=0，解得 x1=2,x2=1。 ，求得 f(3)、 f(2)、 f(1)、 f(4)可得在 x=4 处取得它在 [3， 4]上的最大值，在 x=1 取得它在该区间上的最小值。 曲线的凹凸性与拐点的判定：设 f(x)在 (a,b)内 2，内如果对 (a,b)内任意两点 x1,x2，恒有 3 多元函数的微分法及其应用。 偏导数及全微分： 多元函数的概念：设 D是平面上的一个点集，如果对于每个点 P(x,y)∈D 变量 z 按照一定的法则总有确定的值和它对 应，则称 z 是变量 x,y的二元函数，记为 z=f(x,y)点集 D称为该函数的定义域， x,y称为自变量， z 称为因变量。 偏导数的定义 ：设函数 z=f(x,y)在点（ x0,y0）的某一邻戴内有定义，当 y固定在 y0 上面的结果，就得到结果。 ：若函数 z=f(x,y)的偏导数 fx(x,y)及 fy(x,y)存在，则称它们为 f(x,y)的二阶偏导数，二阶及二阶以 上的偏导数称为高阶偏导数。 多元函数的极值 ：（必要条件）设函数 z=f(x,y)在点（ x0,y0）具有偏导数，在点（ x0,y0） 处有极值，则它 在该点的偏导数为零，即 fx（ x0,y0） =0 fy（ x0,y0） =0 （充分条件）设函数 z=f(x,y)在点（ x0,y0）的某邻域内连续且有一阶及二阶连续偏导数，又 fx（ x0,y0）=0 fy （ x0,y0） =0,记 A= fxx（ x0,y0） B= fxy（ x0,y0） C= fyy（ x0,y0）则当 ACB20时，具有极值 f（ x0,y0）且当 A0时， f（ x0,y0）为极大值，当 A0 时， f（ x0,y0）为极小值。 ACB20时，没有极值。 ACB2=0时，可能有极值 ，也可能没有极值，还需另作讨论。 具有二阶连续偏导数的函数 z=f(x,y)极值的求法叙述如下： 第一步：解方程组， fx(x,y)=0 f(x,y) =0 求得一切实数解，即可求得一切驻点。 第二步：对于每一个驻点（ x0,y0），求出二阶偏导数的值 A、 B、 C。 第三步：定出 ACB2的符号，按上述定理的结论判定 f(x,y)时否有极值，是极大值还是极小值。 例 2求曲线 x=t,y=t2,z=t3在占点（ 1， 1， 1）处的切线及法平面方程。 第四讲 不定积分、定积分、广义积分的的概念及计算 一、内容提要： 本讲主要是讲解不定积分的概念与性质，不定积分的换元积分法和分部积分法，定积分的概念与性质， 定积分的换元积分法和分部积分法，无穷限的广义积分和无界函数的广义积分。 二、重点： 本讲的重点是 不定积分和定积分的换元积分法和分部积分法。 难点：本讲的难点是广义积分的计算。 三、内容讲解： 不定积分： ：如果在区间 I内，可导函数 F(x)的导函数为 f(x)，即对任一 x∈I 都有 F’(x)=f(x)或 d F(x)= f(x)dx，那末函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 内的原函数。 原函数存在的定理：如果函数 f(x)在区间 I 内连续，那末在区间 I内存在可导函数 F(x)，使对任一 x∈I都有 F’(x)=f(x)。 ：在区间 I内，函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x。