高考数学重难点复习(编辑修改稿)

高考数学重难点复习(编辑修改稿)内容摘要：

角与向量夹角的区别与联系 . 技巧与方法：利用 a⊥ b a178。 b=0 来证明两直线垂直，只要证明两直线对应的 向量的数量积为零即可 . (1)证明：设 CD =a, CB =b, 1CC =c,依题意， |a|=|b|， CD 、 CB 1CC 中两两所成夹角 为 θ ，于是 DBCDBD  =a－ b， BDCC1 =c(a－ b)=c178。 a－ c178。 b=|c|178。 |a|cosθ － |c|178。 |b|cosθ =0,∴ C1C⊥ BD. (2)解：若使 A1C⊥平面 C1BD，只须证 A1C⊥ BD， A1C⊥ DC1， 由 )()( 1111 CCCDAACADCCA  =(a+b+c)178。 (a－ c)=|a|2+a178。 b－ b178。 c－ |c|2=|a|2－ |c|2+|b|178。 |a|cosθ － |b|178。 |c|178。 cosθ =0,得 当 |a|=|c|时， A1C⊥ DC1，同理可证当 |a|=|c|时， A1C⊥ BD， ∴1CCCD =1 时， A1C⊥平面 C1BD. ［ 例 2］如图，直三棱柱 ABC— A1B1C1，底面△ ABC中， CA=CB=1，∠ BCA=90176。 ， AA1=2， M、 N 分别是 A1BA1A的中点 . (1)求 BN 的长； (2)求 cos 11,CBBA 的值； (3)求证： A1B⊥ C1M. 命题意图：本题主要考查考生运用向量法中的坐标运算的方法来解决立体几何问题 .属 ★★★★级题目 . 知识依托：解答本题的闪光点是建立恰当的空间直角坐标系 O－ xyz,进而找到点的坐标和求出向量的坐标 . 错解分析： 本题的难点是建系后，考生不能正确找到点的坐标 . 技巧与方法：可以先找到底面坐标面 xOy 内的 A、 B、 C 点坐标，然后利用向量的模及方向来找出其他的点的坐标 . (1)解：如图，以 C 为原点建立空间直角坐标系 O－ xyz. 依题意得： B(0， 1， 0)， N(1， 0， 1) ∴ |BN |= 3)01()10()01( 222  . (2)解：依题意得： A1(1， 0， 2)， C(0， 0， 0)， B1(0， 1， 2). ∴ 1BA = 1),2,1,1( CB =(0， 1， 2) 11 CBBA =1179。 0+(－ 1)179。 1+2179。 2=3 | 1BA |= 6)02()10()01( 222  5)02()01()00(|| 2221 CB .103056 3||||,c os111111  CBBC CBBACBBA (3)证明：依题意得： C1(0， 0， 2)， M( 2,21,21 ) )2,1,1(),0,21,21( 11  BAMC ∴ ,00)2(21121)1(1111 MCBAMCBA  ∴ A1B⊥ C1M. ●锦囊妙计 ，一要善于运用向量的平移、伸缩、合成、分解等变换，正确地进行向量的各种运算，加深对向量的本质的认识 .二是向量的坐标运算体现了数与形互相转化和密切结合的思想 . ，两向量垂直、射影、夹角等问题中 .常用向量的直角坐标运算来证明向量的垂直和平行问题；利用向量的夹角公式和距离公式求解空间两条直线的夹角和两点间距离的问题 . ： (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决。 需要用 到哪些向量。 (2)所需要的向量是否已知。 若未知，是否可用已知条件转化成的向量直接表示。 (3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示。 这些未知向量与由已知条件转化的向量有何关系。 (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能得到需要的结论。 ●歼灭难点训练 一、选择题 1.(★★★★ )设 A、 B、 C、 D 四点坐标依次是 (－ 1， 0)， (0， 2)， (4， 3)， (3，1)，则四边形 ABCD 为 ( ) 2.(★★★★ )已知△ ABC AB =a， AC =b， a178。 b0， S△ ABC= 415 ,|a|=3,|b|=5,则 a 与 b 的夹角是 ( ) 176。 B.－ 150176。 176。 176。 或 150176。 二、填空题 3.(★★★★★ )将二次函数 y=x2的图象按向量 a 平移后得到的图象与一次函数 y=2x－ 5 的图象只有一个公共点 (3， 1)，则向量 a=_________. 4.(★★★★ )等腰△ ABC 和等腰 Rt△ ABD 有公共的底边 AB，它们所在的平面成 60176。 角，若 AB=16 cm,AC=17 cm,则 CD=_________. 三、解答题 5.(★★★★★ )如图，在△ ABC 中，设 AB =a， AC =b，AP =c, AD =λ a,(0λ 1), AE =μ b(0μ 1),试用向量a， b 表示 c. 6.(★★★★ )正三棱柱 ABC— A1B1C1的底面边长为 a,侧棱长为 2 a. (1)建立适当的坐标系，并写出 A、 B、 A C1的坐标； (2)求 AC1与侧面 ABB1A1所成的角 . 7.( ★★★★★ ) 已知两点 M( － 1 ， 0) ， N(1 ， 0) ，且点 P 使NPNMPNPMMNMP  , 成公差小于零的等差数列 . (1)点 P 的轨迹是什么曲线。 (2)若点 P 坐标为 (x0,y0),Q 为 PM 与 PN 的夹角，求 tanθ . 8.(★★★★★ )已知 E、 F、 G、 H 分别是空间四边形 ABCD 的边 AB、 BC、CD、 DA . (1)用向量法证明 E、 F、 G、 H 四点共面； (2)用向量法证明： BD∥平面 EFGH； (3) 设 M 是 EG 和 FH 的交点， 求证：对空 间任一点 O ，有)(41 ODOCOBOAOM  . 参考答案 难点磁场 解： (1)点 M 的坐标为 xM= )29,0(,292 27。 02 11 MyM  .2221)291()05(|| 22  AM 5)21()15(||,10)71()15(||)2( 2222  ACAB D 点分 BC 的比为 2. ∴ xD= 31121 227,3121 121   Dy .2314)3111()315(|| 22 AD (3)∠ ABC 是 BA 与 BC 的夹角，而 BA =(6， 8）， BC =(2，－ 5） . 145262 92910 52)5(2)8(6 )5()8(26||||c o s 2222   BCBA BCBAA B C 歼灭难点训练 一、 ： AB =(1， 2）， DC =(1， 2），∴ AB =DC ，∴ AB ∥ DC ，又线段 AB 与线段 DC 无公共点，∴ AB∥ DC 且 |AB|=|DC|，∴ ABCD 是平行四边形，又 |AB |= 5 ， AC =(5， 3）， |AC |= 34 ，∴ |AB |≠ |AC }, ABCD 不是菱形，更不是正方形；又 BC =(4， 1）， ∴ 1178。 4+2178。 1=6≠ 0,∴ AB 不垂直于 BC ， ∴ ABCD 也不是矩形，故选 D. 答案： D ：∵ 21415 178。 3178。 5sinα 得 sinα =21 ,则 α =30176。 或 α =150176。 . 又∵ a178。 b＜ 0,∴ α =150176。 . 答案： C 二、 3.(2,0) cm 三、 ：∵ BP 与 BE 共线，∴ BP =mBE =m(AE － AB )=m(μ b－ a), ∴ AP =AB +BP =a+m(μ b－ a)=(1－ m)a+mμ b ① 又 CP 与 CD 共线，∴ CP =nCD =n( AD － AC )=n(λ a－ b), ∴ AP =AC +CP =b+n(λ a－ b)=nλ a+(1－ n)b ② 由①②，得 (1－ m） a+μ mb=λ na+(1－ n)b. ∵ a 与 b 不共线，∴     01 0111 mn mnnm am   即 ③ 解方程组③得： m=  11,11 n代入①式得 c=(1－ m)a+mμ b=11［ λ(1－ μ )a+μ (1－ λ )b］ . ： (1)以点 A 为坐标原点 O，以 AB 所在直线为 Oy 轴，以 AA1所在直线为 Oz 轴，以经过原点且与平面 ABB1A1垂直的直线为 Ox 轴，建立空间直角坐标系 . 由已知，得 A(0， 0， 0）， B(0， a,0） ,A1(0,0, 2 a),C1(－ ,2,23 aa 2 a). (2)取 A1B1的中点 M，于是有 M(0， 2,2a a），连 AM， MC1，有 1MC =(－23 a,0,0） , 且 AB =(0， a,0） , 1AA =(0,0 2 a) 由于 1MC 178。 AB =0， 1MC 178。 1AA =0，所以 MC1⊥面 ABB1A1，∴ AC1与 AM 所成的角就是 AC1与侧面 ABB1A1所成的角 . ∵ 1AC = ),2,2,0(),2,2,23( aaAMaaa  aaaAMAC 49240 221  aaaAMaaaaAC 2324||,324143|| 22221 而 23233 49,c o s21  aaaAMAC 所以 AMAC与1 所成的角，即 AC1与侧面 ABB1A1所成的角为 30176。 . ： (1)设 P(x,y） ,由 M(－ 1， 0）， N(1， 0）得， PM =－ MP =(－ 1－ x,－y ） , NPPN  =(1 － x, － y), MN = － NM =(2,0), ∴ MP 178。 MN =2(1+x), PM 178。 PN =x2+y2－ 1, NPNM =2(1－ x).于是， NPNMPNPMMNMP  , 是公差小于零的等差数列，等价于 03 0)1(2)1(2)]1(2)1(2[211 222xyxxxxxyx 即 所以，点 P 的轨迹是以原点为圆心， 3 为半径的右半圆 . (2)点 P 的坐标为 (x0,y0) ,30,1c o s21,3041||c o s42)24)(24()1()1(||||,21020200020202022020xxPNPMPNPMxxxyxyxPNPMyxPNPM ||3c oss i nt a n,4 11c os1s i n 020202 yxx   8. 证明： (1 ） 连 结 BG ，则EHEFEHBFEBBDBCEBBGEBEG  )(21 由共面向量定理的推论知： E、 F、 G、 H 四点共面， (其中 21 BD =EH ） (2）因为 BDABADABADAEAHEH 21)(212121  . 所以 EH∥ BD，又 EH 面 EFGH， BD 面 EFGH 所以 BD∥平面 EFGH. (3）连 OM， OA， OB， OC， OD， OE， OG 由 (2）知 BDEH 21 ，同理 BDFG 21 ，所以 FGEH ， EH FG,所以 EG、FH 交于一点 M 且被 M 平分，所以 ).(41)](21[21)](21[212121)(21ODOCOBOAODOCOBOAOGOEOGOEOM . 难点 4 三个“二次”及关系 三个“二次”即一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是中学数学的重要内容，具有丰富的内涵和密切的联系，同时也是研究包含 二次曲线在内的许多内容的工具 .高考试题中近一半的试题与这三个“二次”问题有关 .本节主要是帮助考生理解三者之间的区别及联系，掌握函数、方程及。