自考高等数学考试重点复习资料(编辑修改稿)

自考高等数学考试重点复习资料(编辑修改稿)内容摘要：

函数 y=logax 及三角函数 y=sinx， y=cosx， y=tanx， y=cotx， y=secx， y=cscx，反三角函数 y=arcsinx， y=arccosx，y=arctanx，这六大类基本初等函数经过四则运算和复合运运算而生成的函数叫初等函数。 例如： （ 4）分段函数 如果变量 y 与变量 x 的对应关系在 x 的不同取值范围内 的表示式不同，例如 2≤x＜ 0 时， y=2x+1 0≤x≤3时， y=x2+1 为了表示得更精简，可以将上面的表示式合并为 这样的函数叫分段函数。 学员可以看出，分段函数不是由六类基本初等函数进行四则运算和复合运算生成，而是分段生成的函数，所以 不是初等函数，在本教程中，也仅仅是分段函数不是初等函数。 典型题 例一 若 解： ， 求 ① f(x), ② f(x)+f(x) 解： 例三 求： y=f(x)的反函数 y=f－ 1(x) 解： （ 1） 1≤x＜ 1 时， y=x1,所以 y 的取值范围为 2≤y＜ 0。 由 y=x1 解得 x=y+1， 2≤y＜ 0,再将 x 与 y 对换得： y=f－ 1(x)=x+1,2≤x＜ 0 (2)1≤x＜ 3 时， 1≤y＜ 5 ； 例四 解： （三）同步练习题 同步练习题答案 （ 1） Df：（ 3， 0） u（ 0， 2） （ 3） Df： [1， 4] （ 4） Df： [1， 10] （ 5） f{f(x)}=x （ 6）偶函数 （ 7）在［ 2， 3］上有界，在（ 1， 2）上无界 （ 8） T=4π （ 10） f1(x)=1+log2(x1)，即 y=1+log2(x1)。 第二章 极限与连续 一、考核内容。 ，会求等比级数的和。 ，会求函数的极限。 ，性质，会比较无穷小量，知道无穷大量的概念。 ，会求间断点，知道闭区间上连续函数的性质。 二、基本概念，主要公式，典型例题 （一）数列极限的概念 定义一：一列有顺序的数 叫数列，简记作 ，其中 叫第一项， 叫第二项， 叫第 n 项。 定义二：当 n 无限变大时，如果数列 的第 n项 与一个常数 a 无限接近，就说常数 a是数列 的极限，并且说数列收敛，也可以说数列 收敛于常数 a，记作： （当 n→∞ 时）或 如果不存在这样的常数 a，就说数列 发散。 定义三：当 n无限变大时，如果数列 的第 n项 的绝对值 无限变大，就说数列无限变大，记作： （当 n→∞ 时）或记作 由于这时数列 的极限不是常数，所以数列无限变大是发散的。 典型例题 ：讨论下列数列的敛散性，若收敛，请求出它的极限： 解： ，当 n 无限变大时，观察下表： n 1 2 3 4 5 6 7 … 1/2 1/4 1/8 1/16 1/32 1/64 1/128 … 可见 n→∞ 时， 与数 0无接近，即： 解：数列 d的第 n项 在（－ 1）与 1之间跳动，故 不与任何常数接近，故数列没有极限，它是发散的。 由（ 3）与（ 6）可知，等比数列 有下面结果： （二）数项级数 定义一：数列 的和 叫数项级数。 符号 叫数项级数 , 的前 n 项和。 例如： 叫前 5项和。 定义二：若 n→∞ 时，级数 的前 n项和 的极限若为常数 S，即： 就说级数 的和是 S，并且说级数 收敛，或者说级数 收敛于 S 否则，就说级数 是发散的。 典型例题： 例一：讨论数项级数 的敛散性。 如例一 ：讨论数项级数 的敛散性． 参见教材 55 页面 例二：讨论数项级数 的敛散性 例三：讨论等比级数 的敛散性 解：（ ⅰ ） 时， （ ⅱ ） 时 的在 0 与 1 间跳跃， ∴ 不存在。 总结上面结果 有下面公式： 例四：求下列等比级数的和 根据等比级数求和公式有： 下面为第二节 （三） 函数的极限 定义一：当 x与数 a无限接近时，如果函数 f（ x）的值与常数 A 无限接近，就说 x与数 a无限接近时， f（ x）的极限是常数 A，记作： 典型例题：求下列函数的极限 定义二：若当 x＜ a且与数 a无限接近时（记作 ），函数 f（ x）与常数 A无限接近，就说函数 f（ x）的左极限是数 A，记作： 若当 xa 且与数 a无限接近时，（记作 ） ,函数 f（ x）与常数 A无限接近，就说函数 f（ x）的右极限是数 A，记作： 显然，下面定理是成立的 定理 典型例题 定义三 （ 1）若 x0且 |x|无限变大时（记作 ） ,函数 f（ x）与常数 A 无限接近，就说 时，函数 f（ x）的极限是常数 A，记作： （ 2）若 x0 且 |x|无限变大时（记作 ），函数 f（ x）与常数 A无限接近，就说 时，函数 f（ x）的极限是常数 A，记作： （ 3）当 x的绝对值 |x|无限变大时（记作 ） ,函数 f（ x）与常数 A无限接近，就说 时， f（ x）的极限是常数 A，记作： 显然，下 面的结论是正确的 典型例题 例一：求下列极限 例二：求极限 （四） 极限的四则运算法则 关于极限的运算，我们不加证明地介绍下面的定理： 若在 x的同一变化过程中， ， ，则有下面结果： 典型例题 例一：求下列极限 下面的结果，学员可以当作公式加以应用 例三：直接利用上面的公式求极限 解： ①0 ； ②3 ； ③ 例四：求极限 下面为第三节 （五）无穷大量，无穷小量 定义一：若变量 u的绝对值 |μ| 无限变大，就说变量 u 是无穷大量，记作： 定义二：若变量 u的极限为 0，就说变量 u是无穷小量，记作： 性质一：若 u是无穷大量，则 1/u是无穷小量 若 u是无穷小量，则 1/u是无穷大量。 性质二：（ 1）无穷小量乘无穷小量仍是无穷小量 （ 2）有界变量乘无穷小量是无穷小量 典型例题： 例一：当 时，下列变量中哪个是无穷大量。 哪个是无穷小量。 例二：求下列极限 定义三：若 α→0 ， β→0 ，即 α 与 β 都是无穷小量 （ 1） 若 ，就说 β 是 α 的高阶无穷小，记作 β ＝ o(α) （ 2） 若 ，就说 β 是 α 的同阶无穷小，记作 β ＝ O(α) （ 3） 若 ，就说 β 与 α 等价，记作 β ～ α （ 4） 若 ，就说 β 是 α 的低阶无穷小。 典型例题： 例一：当 x 0时，请将下列无穷小量与 x进行比较 下面的结果是重要的结果，请学员熟记： x 0时 ,下面的无穷小量都是等价的 . 在求极限时，下面的定理常常能将问题变得简单： 定理（等价代换定理） 若 u→0 ， ν→0 ，且 u～ ν ，则有 （ 1） （ 2） 证：（ 1） （ 2） 等价代换定理的好处是可以用一个简单的无穷小量 ν 去替换等价的复杂的无穷小量 μ 学员特别要注意的是只有乘除法才能等价替换，加减法不能等价替换。 典型例题：求下列极限 例二：用等价无穷小替换计算 注意：下面的计算有错误 错误的原因在第一个等式不成立，因为我们所警告的加减法不能等价替换。 （六）两个重要的极限 下面我们不加证明地给出两个重要极限，读者可以利用它们作为公式 求其它的极限 上面的结果叫第一个重要极限，实际上在介绍等价替换时就有上面的结果 典型例题：计算 上面的公式叫第二个重要极限，在利用上面的公式求其它极限时常常需要利用下面的公式进行代数化简： 典型题一：求下列极限 注意： ，要将这种极限与 相区别 例二 : 求下列极限 例三： 验证 （七）函数的连续性 否则，就说 f(x)在 处间断； 即 处的间断。 否则，就说 f(x)在 处间断。 典型例题 例一 讨 论下列函数在分段点的连续性 解：用定义一： f(0)=0 ∴f(x) 在 x=0 连续。 解：（ ⅰ ）在 x=0 点处 f(0)=1 ∴f(x) 在点 x＝ 0 处连续 （ ⅱ ）在 x=2 处 ∴f(x) 在点 x=2处不连续 例三：已知 在点 x＝ 0连续，求 a， b： 对于初等函数，有下面的结 论 定理：（ 1）一切初等函数在它有意义的区间上处处连续 （ 2）一切初等函数，在它的无意义点上一定间断 典型例题 例一：求函数 的间断点和连续区间。 解：（ ⅰ ） f(x)是初等函数，它在（ ∞ ， 1），（ 1， 1），（ 1， +∞ ）上处处有意义。 ∴f(x) 在（ ∞ ， 1），（ 1， 1），（ 1， +∞ ）上处处连续。 （ ⅱ ） f(x)在 x＝ 1,x=1 上无意义，所以 f(x)在 x＝ 1， x＝ 1处间断。 关于间断点，本教程有三种类型： （ 1） 若 则间断点 x＝ a叫可去间断点； （ 2） 若 ，则间断点 x＝ a，叫无穷间断点； （ 3） 若 ，则间断点 x＝ a 叫跳跃间断点。 例二：求下列函数的间断点，并指出其类型 解： ∵f(x) 在＝ 2 处无意义，所以 x=2 是 f(x)的间断点 解： ∵f(x) 在 x＝ 2处无意义，所以 x＝ 2 是 f(x)的间断点 解： ∵f(x) 在 x＝ 2处无意义，所以 x＝ 2 是 f(x)的间断点 解： ∵f(x) 在 x＝ 0处无意义， x＝ 0是 f(x)的间断点， 由于 ，所以 x＝ 0是 f(x)的无穷间断点 （八）在闭区间上连续的函数的性质 在闭区间上处处连续的函数有两条重要性质，我们用定理的形式介绍一下。 定理（最大值最小值定理） 如果函数 f（ x）在闭区间 [a,b]上处处连续，则函数 f（ x）在闭区间 [a,b]上一定有最大值 M和最小值 m 推论：若 f（ x）在闭区间 [a,b]上连续，则 f（ x）在闭区间 [a,b]上有界，且 注意上面结论的两个条件缺一不可，例 在开区间 (0,1)上处处连续，因为它在此区间上没有无意义的点。 x→0 时， 无限变大，所以它没有最大值。 而 0＜ x＜ 1 时， f(x)也取不到最小值 1 定理（零值定理） 如果 f（ x）在闭区间 [a,b]上处处连续，而且 f(x)在端点的函数值 f(a),f(b)异号。 则在 (a,b)内至少存在一点 a＜ c＜ b， 能使 f(c)=0 或者说在 (a,b)内至少存在。