20xx年全国各地中考数学真题分类汇编：第32章圆的有关性质2(编辑修改稿)

20xx年全国各地中考数学真题分类汇编：第32章圆的有关性质2(编辑修改稿)内容摘要：

C： CB＝ 3： 1 ∵∠ ACB＝ 90176。 ∴ ∠ ABC＝ 60176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 120176。 ∴ ∠ AOC＝ 2∠ ABC ＝ 120176。 ∴ ∠ AOC 的度数为 60176。 或 120176。 7. （ 2020 浙江丽水， 21， 8 分） 如图，射线 PG平分 ∠ EPF， O为射线 PG 上一点，以 O 为圆心， 10 为半径作 ⊙ O，分别与 ∠ EPF 两边相交于 A、 B 和 C、 D，连结 OA，此时有 OA∥PE. （ 1）求证： AP＝ AO； （ 2）若弦 AB＝ 12，求 tan∠ OPB 的值； （ 3）若以图中已标明的点 (即 P、 A、 B、 C、 D、 O)构造四边形，则能构成菱形的四个点为 ，能构成等腰梯形的四个点为 或 或 . GFEOABDCP 【解】（ 1）∵ PG 平分∠ EPF， ∴∠ DPO=∠ BPO， ∵ OA//PE， ∴∠ DPO=∠ POA， ∴∠ BPO=∠ POA， ∴ PA=OA； （ 2）过点 O 作 OH⊥ AB 于点 H，则 AH=HB， ∵ AB=12， ∴ AH=6， 由（ 1）可知 PA=OA=10， ∴ PH=PA+AH=16， OH= 102－ 62=8， ∴ tan∠ OPB=OHPH=12； （ 3） P、 A、 O、 C； A、 B、 D、 C 或 P、 A、 O、 D 或 P、 C、 O、 B. 8. （ 2020 广东广州市， 25， 14 分） 如图 7， ⊙ O 中 AB 是直径， C 是 ⊙ O 上一点， ∠ ABC=45176。 ，等腰直角三角形 DCE 中 ∠ DCE 是直角，点 D 在线段 AC 上． （ 1）证明： B、 C、 E 三点共线； （ 2）若 M 是线段 BE 的中点， N 是线段 AD 的中点，证明： MN= 2OM； （ 3）将 △ DCE 绕点 C 逆时针旋转 α（ 0176。 ＜ α＜ 90176。 ）后，记为 △ D1CE1（图 8），若 M1是线段 BE1 的中点， N1 是线段 AD1的中点， M1N1= 2OM1 是否成立。 若是，请证明；若不是，说明理由． 【答案】（ 1）∵ AB为⊙ O直径 ∴∠ ACB=90176。 ∵△ DCE 为 等腰直角三角形 ∴∠ ACE=90176。 ∴∠ BCE=90176。 +90176。 =180176。 ∴ B、 C、 E三点共线． （ 2） 连接 BD， AE， ON． ∵∠ ACB=90176。 ， ∠ ABC=45176。 A B C D1 E1 M1 O N1 图 8 A B C D E M N O 图 7 ∴ AB=AC ∵ DC=DE ∠ ACB=∠ ACE=90176。 ∴ △ BCD≌△ ACE ∴ AE=BD，∠ DBE=∠ EAC ∴∠ DBE+∠ BEA=90176。 ∴ BD⊥ AE ∵ O， N为中点 ∴ ON∥ BD， ON=12BD 同理 OM∥ AE， OM=12AE ∴ OM⊥ ON， OM=ON ∴ MN= 2OM （ 3）成立 证明：同（ 2）旋转后∠ BCD1=∠ BCE1=90176。 －∠ ACD1 所以仍有 △ BCD1≌△ ACE1， 所以 △ ACE1是由 △ BCD1绕点 C 顺时针旋转 90176。 而得到的，故 BD1⊥ AE1 其余证明过程与（ 2）完 全相同． 9. （ 2020 浙江丽水， 24， 12 分） 如图，在平面直角坐标系中，点 A(10， 0)，以 OA 为直径在第一象限内作半圆 C，点 B 是该半圆周上的一动点，连结 OB、 AB，并延长 AB 至点 D，使 DB＝ AB，过点 D作 x 轴垂线，分别交 x 轴、直线 OB于点 E、 F，点 E为垂足，连结 CF. （ 1）当 ∠ AOB＝ 30176。 时，求弧 AB 的长； （ 2）当 DE＝ 8 时，求线段 EF 的长； （ 3）在点 B 运动过程中，是否存在以点 E、 C、 F 为顶点的三角形与 △ AOB 相似，若存在，请求出此时点 E 的坐标；若不存在，请说明理由 . FEDCBAO xy 【解】 (1)连结 BC， ∵ A(10， 0)，∴ OA=10， CA=5， ∵∠ AOB=30176。 ， ∴∠ ACB=2∠ AOB=60176。 ， ∴ ⌒AB的长 =60π 5180 =5π3 ； （ 2）连结 OD， ∵ OA 是⊙ C 的直径，∴∠ OBA=90176。 ， 又∵ AB= BD， ∴ OB 是 AD 的垂直平分线， ∴ OD= OA=10， 在 Rt△ ODE 中， OE= OD2－ DE2= 102－ 82=6， ∴ AE= AO－ OE =10－ 6=4， 由∠ AOB=∠ ADE= 90176。 －∠ OAB， ∠ OEF=∠ DEA， 得△ OEF∽ △ DEA， ∴ AEDE= EFOE，即 48=EF6 ，∴ EF=3； FEDCBAO xyFEDCBAO xyFEDCBAO xy (3)设 OE=x， ①当交点 E 在 O， C 之间时，由以点 E、 C、 F 为顶点的三角形与△ AOB 相似， 有∠ ECF=∠ BOA 或∠ ECF=∠ OAB，当∠ ECF=∠ BOA 时，此时△ OCF 为等腰三角形， 点 E 为 OC 的中点，即 OE=52， ∴ E1(52， 0)； 当∠ ECF=∠ OAB 时，有 CE=5－ x， AE=10－ x， ∴ CF//AB，有 CF=12AB， ∵△ ECF∽ △ EAD， ∴ CEAE=CFAD，即 5－ x 10－ x=14，解得 x=103 ， ∴ E2(103 ， 0)； ②当交点 E 在 C 的右侧时， ∵∠ ECF∠ BOA ∴要使△ ECF 与 △ BAO 相似，只能使∠ ECF=∠ BAO， 连结 BE， ∵ BE 为 Rt△ ADE 斜边上的中线， ∴ BE=AB=BD， ∴∠ BEA=∠ BAO， ∴∠ BEA=∠ ECF， ∵ CF//BE，∴ CFBE=OCOE， ∵∠ ECF=∠ BAO，∠ FEC=∠ DEA=Rt∠， ∴△ CEF∽ △ AED，∴ CFAD=CEAE， 而 AD=2BE，∴ OC2OE=CEAE， 即 52x= x－ 5 10－ x， 解得 x1=5+5 174 ， x2=5－ 5 174 0（舍去）， ∴ E3(5+5 174 ， 0)； ③当交点 E 在 O 的左侧时， ∵∠ BOA=∠ EOF∠ ECF ∴要使△ ECF 与 △ BAO 相似，只能使∠ ECF=∠ BAO， 连结 BE，得 BE=12AD=AB， ∠ BEA=∠ BAO， ∴∠ ECF=∠ BEA， ∴ CF//BE， ∴ CFBE=OCOE， 又∵∠ ECF=∠ BAO，∠ FEC=∠ DEA=Rt∠， ∴△ CEF∽ △ AED，∴ CEAE=CFAD， 而 AD=2BE，∴ OC2OE=CEAE， ∴ 52x= x+5 10+x，解得 x1=－ 5+5 174 ， x2=－ 5－ 5 174 0（舍去）， ∵点 E 在 x 轴负半轴上，∴ E4(5－ 5 174 ， 0)， 综上所述：存在以点 E、 C、 F 为顶点的三角形与 △ AOB 相似，此时点 E坐标为： ∴ E1(52， 0)、 E2(103 ， 0)、 E3(5+5 174 ， 0)、 E4(5－ 5 174 ， 0). 10． （ 2020江西， 21， 8分）如图，已知 ⊙ O的半径为 2，弦 BC 的长为 23，点 A为弦 BC所对优弧上任意一点（ B， C 两点除外）。 ⑴ 求 ∠ BAC 的度数； ⑵ 求 △ ABC 面积的最大值 . （参考数据： sin60176。 = 23 ， cos30176。 = 23 ， tan30176。 = 33 .） 【答案】 （ 1）过点 O 作 OD⊥ BC 于点 D, 连接 OA. 因为 BC=23，所以 CD=12BC= 3 . 又 OC=2，所以 sin DOC∠ =CDOC，即 sin DOC∠ = 32， 所以 ∠ DOC=60176。 . 又 OD⊥ BC，所以 ∠ BAC=∠ DOC=60176。 . （ 2）因为 △ ABC 中的边 BC的长不变，所以底边上的高最大时， △ ABC面积的最大值 ,即点A是 BAC 的中点时， △ ABC 面积的最大值 . 因为 ∠ BAC=60176。 ，所以 △ ABC 是等边三角形， 在 Rt△ ADC 中， AC=23， DC= 3 , 所以 AD= 22AC DC = 22(2 3) 3 =3. 所以 △ ABC 面积的最大值为 23312=3 3 . 11. （ 2020湖南常德， 25， 10分）已知 △ ABC，分别以 AC 和 BC 为直径作半圆 1O 、 2,O P是 AB 的中点 . （ 1）如图 8，若△ ABC 是等腰三角形，且 AC=BC，在 ,ACBC 上分别取点 E、 F，使12,AO E BO F   则有结论① 12,PO E FO P ②四边形 12POCO 是菱形 .请给出结论②的证明； （ 2）如图 9，若（ 1）中△ ABC 是任意三角形，其它条件不变，则（ 1）中的两个结论还成立吗。 若成立，请给出证明； （ 3）如图 10，若 PC 是 1O 的切线，求证： 2 2 23AB BC AC 【答案】 （ 1） 证明： ∵ BC 是⊙ O2直径，则 O2是 BC 的中点 又 P 是 AB 的中点 . ∴ P O2是 △ ABC 的中位线 ∴ P O2 =12 AC 又 AC 是⊙ O1直径 ∴ P O2= O1C=12 AC 同理 P O1= O2C =12 BC ∵ AC =BC ∴ P O2= O1C=P O1= O2C ∴四边形 12POCO 是菱形 （ 2） 结论① 12,PO E FO P 成立，结论②不成立 证明：在（ 1）中已证 PO2=12 AC，又 O1E=12 AC ∴ PO2=O1E 同理可得 PO1=O2F ∵ PO2是 △ ABC 的中位线 ∴ PO2∥ AC ∴∠ PO2B=∠ ACB 同理∠ P O1A=∠ ACB ∴∠ PO2B=∠ P O1A ∵∠ AO1E =∠ BO2F 图8O2O1PA DCEFB D ∴∠ P O1A+∠ AO1E =∠ PO2B+∠ BO2F。