20xx届高三数学第二轮复习(空间角与距离)(编辑修改稿)

20xx届高三数学第二轮复习(空间角与距离)(编辑修改稿)内容摘要：

【范例 3】 在四棱锥 PABCD 中， ABCD为正方形， PA⊥ 面 ABCD， PA＝ AB＝ a， E 为 BC 中点 . （ 1）求平面 PDE 与平面 PAB 所成二面角的大小；（ 2）求平面 PBA 与平面 PDC所成二面角的大小 解：（ 1）延长 AB、 DE 交于点 F，则 PF 为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的棱， ∵PA⊥ 平面 ABCD， ∴AD⊥PA 、 AB, PA∩AB=A ∴DA⊥ 平面 BPA 于 A, 过 A 作 AO⊥PF 于 O，连结 OD, 则 ∠AOD 即为平面 PDE 与平面 PAD 所成二面角的平面角。 得25tan AOD，故面 PDE 与 面 PAD 所成二面角的大小为25tanatc （ 2）解法 1（面积法）如图 ∵AD⊥PA 、 AB, PA∩AB=A ∴DA⊥ 平面 BPA 于 A, 同时 BC⊥ 平面 BPA 于 B, ∴△PBA 是 △PCD 在平面 PBA 上的射影 , 设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 θ, cosθ=S △PAB /S△PCD = /2 θ=45 0 ， 即平面 BAP 与平面 PDC 所成的二面角的大小为 45176。 解法 2（补形化为定义法）如图将四棱锥 PABCD 补形 得正方体 ABCDPQMN，则 PQ⊥PA 、 PD，于是 ∠APD 是两 面所成二面角的平面角。 在 Rt△PAD 中， PA=AD， 则 ∠APD=45176。 即平面 BAP 与平面 PDC 所成二面角的大小为 45176。 【点晴】 求线面角、面面角关键在于准确作出角，同样 遵循一作二证三计算的步骤， 但应用面积射影法求二面角可避免找角，同学们注意经常使用。 【 范 例 4 】 如图，四面体 ABCD 中， O 、 E 分 别 是 BD 、 BC 的 中 点 ， 2 , 2 .C A C B C D B D A B A D      （ I）求证： AO 平面 BCD； （ II）求 异面直线 AB 与 CD 所成角的大小； （ III）求点 E 到平面 ACD 的距离。 方法一： （ I）证明：连结 OC , , .BO D O AB AD AO BD    , , .BO D O BC C D C O BD    在 AOC 中，由已知可得 1, CO 而 2,AC 2 2 2 ,AO C O AC   90 ,oAOC  即 .AO OC ,BD OC O AO平面 BCD （ II）解：取 AC 的中点 M，连结 OM、 ME、 OE，由 E 为 BC的中点知 ME ∥ AB,OE ∥ DC 直线 OE 与 EM 所成的锐角就是异面直线 AB 与 CD所成的角 ABMDEOC 5 在 OME 中， 1 2 1, 1 ,2 2 2E M A B O E D C    OM 是直角 AOC 斜边 AC 上的中线， 1 1,2O M AC   2co s ,4O E M   异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 2arccos .4 （ III）解：设点 E 到平面 ACD 的距离为 .h 11, . . . .33E A C D A C D E A C D C D EV V h S A O S      在 ACD 中， 2 , 2 ,CA CD A D   221 2 72 2 ( ) .2 2 2A C DS       而 21 3 31 , 2 ,2 4 2C D EA O S      31. 212 .772CD EA CDA O ShS    点 E 到平面 ACD 的距离为 方法二： （ I）同方法一。 （ II）解：以 O 为原点，如图建立空间直角坐标系，则 (1, 0 , 0), ( 1, 0 , 0),BD 13( 0 , 3 , 0 ) , ( 0 , 0 , 1 ) , ( , , 0 ) , ( 1 , 0 , 1 ) , ( 1 , 3 , 0 ) .22C A E B A C D     .2c o s , ,4B A C DB A C DB A C D    异面直线 AB 与 CD 所成角的大小为 2arccos .4 （ III）解：设平面 ACD 的法向量为 ( , , ),n x y z 则 . ( , , ) .( 1 , 0 , 1 ) 0 ,. ( , , ) .( 0 , 3 , 1 ) 0 ,n AD x y zn AC x。