本科生毕业论文-函数最值问题的求解方法(编辑修改稿)

本科生毕业论文-函数最值问题的求解方法(编辑修改稿)内容摘要：

=2[ )2sin(sin   ]2 = 2)4c o s (4s in22   = 2)4c o s (22  2)]4(2s in [22   高等教育自学考试本科生毕业论文 8 2)4s in (22   而 . ]2,4[434422  . 又因 )4sin( 在 ]2,4[ 是增函数，所以其最值在端点处取得 . 三角函数法 如果给定函数，经变形后能化成： BxAy  )s in( 或 BxAy  )c os ( （ A 、B 是常数）的形式，则由 1)sin( x 或 1)cos( x 可知：当   22kx 或  kx 2 时， maxy A B=+（设 0A ） 当   22kx 或   )12( kx 时， maxy A B= + （设 0A ） 例 . 求函数 s in c o s s in c o sy x x x x= + +的最大值 . 解： 因为 s in c o s s in c o sy x x x x= + + )2s in (s in2s in21 xxx   )4c o s (4s in22s in21   xx = )4c o s (22s in21  xx 当 4222   kxkx 时， max(sin 2 ) 1x = ； 当 )(,4 Zkkx   时， 1c o s)44c o s ()4c o s (   kkx 即 1)]4[c os ( m a x  x ，所以，当 4kx 时， max 1 22y =+ . 高等教育自学考试本科生毕业论文 9 单调 性法 当自变量的取值范围为一区间时，有时也用单调性法来求函数的最值．在确定函数在指定区间上的最值时，首先要考虑函数在这个区间上的单调情况．若函数在整个区间上是单调的，则该函数在区间端点上取得最值．若函数在整个区间上不是单调的，则把该区间分成各个小区间，使得函数在每一个区间上是单调的，再求出各个小区间上的最值，从而可以得到整个区间上的最值 [5]． 例 . 设函数 ()fx是奇函数，对任意 x 、 yR 均有关系 ( ) ( ) ( )f x y f x f y  ，若 x 0 时， ( ) 0fx 且 (1) 2f  ．求 ()fx在  3,3 上的最大值和最小值 . 解： 先确定 ()fx在  3,3 上的单调性，设任意 1x 、  2 3,3x  且 12xx ，则210xx. 所以有 2 1 2 1 2 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0f x f x f x f x f x x       即 21( ) ( )f x f x . 所以， ()fx在  3,3 上是减函数 . 因此， ()fx的最大值是 ( 3 ) ( 3 ) ( 2 1 )f f f       (1) (1) (1) 6fff   。 ()fx的最小值是 (3) 3 (1) 6ff  . 导数法 设函数 ()fx在 []ab， 上连续，在 ()ab， 上可导，则 ()fx在 []ab， 上的最大值和最小值为 ()fx在 ()ab， 内的各极值与 ()fa， ()fb中的最大值与最小值． 高等教育自学考试本科生毕业论文 10 要求三次及三次以上的函数的最值，以及利用其他方法很难求的函数式的最值，通常都用该方法．导数法往往就是最简便的方法，应该引起足够重视． 例 . 求函数 32( ) 3 6 2f x x x x= + ， ]1,1[x 的最大值和最小值． 解： 求导得 663)( 239。  xxxf . 令 0)(39。 xf ，方程无解 . 因为 03)1(3663)( 2239。  xxxxf ，所以函数 ()fx在 ]1,1[x 上时增函数 . 故 当 1x= 时， m in ( ) ( 1) 12f x f= =。 当 1x= 时， m ax ( ) (1) 2f x f==. 综上可知，函数最值问题内涵丰富，解法灵活 .没有通用的方法和固定模式，在解题时要因题而异，而且上述介绍的几种求解方法也并非彼此孤立，而是相互联系、相互渗透的，有时一个问题需要多法并举，互为补充，有时一个题目又会有多种解法，函数的最值解题方法是灵活多样性的，除了以上讲的，还有很多种方法 ，如：消元法、数形结合法、复数法、几何法、待定系数法、万能公式法等等 .因此，解题的关键在分析和思考，因题而异地选择恰当的解题方法，减少解题时间． 3 求解函数最值时应注意的一些问题 注意定义域 遇到求最值问题的时候，我们切记在求解的过程当中，要注意观察定义域的变化情况， 在最初解题之时，应当先把函数的定义域确定；在解题过程中，当函数变形时注意定义域是否发生改变，如果又引入新变量也要确定这个变量的取值范围，以免在后面的求解过程中出现错误；在解题结束时，必须检验所求得的使函数取得最值的自变量是高等教育自学考试本科生毕业论文 11 否包含在定 义域的范围内． 例 . 求函数 1 2xy x= 的最值 . 错解： 将 1 2xy x= 两边同时平方并去分母得 2 2 2 2( 4 1 ) 4 1 0y x y x y + =. 因为 Rx ，所以 0)14(4)14( 2222  yyy ，化简得 14 y . 所以 2121  y ，故min 12y =，max 12y =. 分析： 这个答案致错原因是两边平方及去分母，使函数的定义域扩大了 . 正解： 将 1 2xy x= 两边平方并去分母，得 2 2 2 2( 4 1 ) 4 1 0y x y x y + =. 因为 Rx ，所以 0)14(4)14( 2222  yyy ，化简得 14 y . 所以 2121  y ，注意到原函数的定义域是 1x ，则有 01 x ， 20x，于是必有 0y . 所以 021  y ，故min 12y =， max 0y = . 注意值域 求函数的最值，不但对几种基本初等函数的值域要非常熟悉，而且在解题过程中还要注意函数取值范围的变化 . 例 . 求 22 21xy x = +的最值 . 错解： 原式变形为 2( 1) ( 2 ) 0y x y + + =，因为 Rx ，所以 0)2)(1(4  yy . 高等教育自学考试本科生毕业论文 12 解之得 12  y ，所以 min 2y = ， max 1y = . 分析： 把 1y= 代入 22 21xy x = +得 12 2 11xx =+.而这个方程无解，故 1y= 不在函数的值域内 . 事实上，由 22223111xy xx= = ++知。