数学毕业论文_浅谈数列求和的若干方法(编辑修改稿)

数学毕业论文_浅谈数列求和的若干方法(编辑修改稿)内容摘要：

anaaaaSnnnnn   4． 倒 序相加法 如果一个数列与首末两项等距的 两项 之和等于两项之和，可采用正着写与 倒 着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和 . 例 5 已知 na 为等差数列，求 1 2 3 na a a a    解：令 1 2 3nnS a a a a     将上式中各项的次序反过来就得到： 1 2 1n n n nS a a a a    上两式相加的      1 2 1 12 n n n nS a a a a a a      内江师范学院学年论文 5 由等差数列性质得： 1 2 1 1n n na a a a a a      所以得  12 nnS n a a 所以  12 nn n a aS  例 6 求和： nnnn nCCC 363 21   . 解：令 .39630 3210 nnnnnnn nCCCCCS   将上式中各项的次序反过来，得： .03)2(3)1(33 0121 nnnnnnnnn CCCnCnnCS    上述 2 式左右两边分别相加，并利用 knnkn CC  ，得 .23)(32 1210 nnnnnnnnn nCCCCCnS   所以 123  nn nS 5． 通项分析法 对数列的通项求和或变形，进行分析，从而决定使用哪种方法求和 . 例 7 求数列 1， 2aa ， 432 aaa  ，  43 aa 65 aa ， „ 的前 n 项和 nS ，（ 0a ） 解：当 a =1 时， .kak  则 )1(21  nnSn 当 1a 时， 0ka ，（ k 为偶数）和 1ka ，（ k 为奇数） 可见 ]2 )1(1[21 nS nn  当 |a | 1 时， aaaa kkk 1 121 ， 所以 )]()()()1[(1 1 121523   nnn aaaaaaaaS  = )]()1[(1 1 125312   nn aaaaaaaa  内江师范学院学年论文 6 = )]1)(1[()1()1( 11 )1(11[1 1 1222  nnnn aaaaaaaaaa 6． 待定归纳 法 解决与自然数有关的某一问题，首先应对结论的代数形式做一个正确推测，并将结论用待定系数设出来，随之令其 满足数学归纳法的各个步骤，从中得到得到待定系数的方程，求出待定系数，即可使问题得解 . 例 8 求数列 221 ， 243 ， 265 ， ，  22 2 1nn 的前 n 项和 nS 因为数列   2 322 2 1 8 8 2na n n n n n    它是关于 n 的多项式 ，与之类似的数列求和问题我们熟悉的有 ⑴   21 3 5 2 1nn      ⑵     11 2 2 3 1 1 23n n n n n         ⑶  23 3 3 3 211 2 3 14n n n      以上各式中，左端的通项公式及右端的和展开后都是关于 n 的多项式，对其次数进行比较便可得到这样的结论：若数列 na 的通项公式是关于 n 的多项式，则其前 n 项和是比通项公式高一次的多项式，对本题而言，因为通项公式  2 322 2 1 8 8 2na n n n n n     是关于 n 的三次 多项式，所以我们猜想该数列的前 n 项和 nS 是关于 n 的四次多项式，故可设 432nS A n B n C n D n E     即 1n ， nk ， 1nk时上式均成立，有 1 2S A B C D E      432kS A k B k C k D k E            4 3 21 1 1 1 1kS A k B k C k D k E          即     4 3 21 4 6 3 4 3 2kS A k A B k A B C k A B C D k A B C D E               内江师范学院学年论文 7 又因为 11k k kS S a 所以      4 3 21 8 1 6 1 0 2kS A k B k C k D k E          比较上两式同类项系数可得 486 3 164 3 2 102AAA B BA B C CA B C D DA B C D E E                 解方程得 2A , 43B , 1C , 13D , 0E 故 4 3 2412 33nS n n n n    7． 裂项法 顾名思义，裂项法就是把数列的项拆成几项，然后相加时各项相消，达到求和目的的一种方法 .通项分解如： ⑴    1na f n f n   ⑵  1 1 111na n n n n   ⑶    22 1 1 112 1 2 1 2 2 1 2 1n na n n n n       ⑷ 。