数学与应用数学毕业论文-中学数学中的数形结合思想(编辑修改稿)

数学与应用数学毕业论文-中学数学中的数形结合思想(编辑修改稿)内容摘要：

度等。 数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。 数形结合的思想方法应用广泛，常见的如在解方程和 解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求复数和三角函数解题中，运用数形结思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。 这在解选择题、填空题中更显其优越，要注意培养这种思想意识，要争取胸中有图见数想图，以开拓自己的思维视野。 数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它可以使代数问题几何化，几何问题代数化。 在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，对数 学题目江西师范大学 12 届学士学位毕业论文 2 中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范围。 纵观多年来的高考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果。 3 数形结合思想在中学数学中的应用 1 利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 一般 情况我们 用圆来表示集合，两 个 圆相交则表示两 个 集合有公共 的 元素，两 个圆相离就 表示两个集合没有公共 的 元素。 利用韦恩图法能直观地解答有关集合之间的关系的问题。 例 1．某校先后举行数理化三科竞赛，学生中至少参加一科的：数学 807 人，物理 739 人，化学 437 人；至少参加两科的：数理 593 人，数化 371 人，理化267 人；三科都参加的 213 人，试计算参加竞赛总人数。 （选自《王后雄高考标准诠释》） 解 ：我们用圆 A、 B、 C 分别表示参加数理化 竞赛的 人数 ，那么 三 个 圆的公共部分正好表示同时参加数理化小组的人数。 用 n 表示集合的元素，则有： ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )n A n B n C n A B n A C n B C n A B C            8 0 7 7 3 9 4 3 7 5 9 3 3 7 1 2 6 7 2 1 3 9 6 5       即：参加竞 赛总人数为 965 人 . 2 利用数轴解决集合的有关运算 例 2． 已知集合  13A x x   ,  3B x a x a   ⑴若 AB ，求 a 的范围。 ⑵若 BA ，求 a 的范围。 B(理 ) A（数） C(化 ) 江西师范大学 12 届学士学位毕业论文 3 分析：先在数轴上表示 出集合 A 的范围，要使 AB ，由包含于的关系可知集合 B 应该覆盖集合 A，从而有 ：   33 1aa，这时 a 的值不可能存在．要使 BA ， 当 0a 时集合 A 应该覆盖集合 B，应有0331aaa 成立 ，即 01a。 当 0a 时， B ，显然 BA 成立。 故 BA 时的取值范围为 ： 1a 在集合问题中，有一些常用的方法如韦恩图法，数轴法取交并集，在例题一中通过画韦恩图 表示出各集合， 可以直观形象的表现出各部分数量间的关系 ，本题主要强化学生数形结合能力，解此类题目的技巧与 方法是画出图形，形象的表示出各数量关系间的联系，从而求解。 在解例题二这一类题目时要先化简集合，确定各集合之间的包含关系，进一步在数轴上表示出来，通过数轴简便求解。 解 方程 中的应用 在很多情况下我们对于一些比较复杂的方程不能使用常规的方法去解，也不能使用求根公式，以至于无法求解，那么我们采用数形结合思想，将方程的跟转化为求函数的交点，通过作图可以很好的解答出来。 例 3． 设方程 2 11xk   ，试讨论 k 取不同范围的值时其不同解的个数的情况。 解 ：我们可把这个问题转化为确定函数 21211y x y k   与图像交点个数的情况，因函数 1yk始终 表示平行于 轴的所有直线 （无论 k 取何值） ， 函数 21 1yx可以先转换成 从 函数 21 1yx，然后根据二次函数图象性质画出21 1yx图像 ，进一步画出 21 1yx的图象，从而 可以直观看出： a 1 3 3a a 1 3 3a 江西师范大学 12 届学士学位毕业论文 4 （ 1） 当 1k 时，12yy与没有交点，这时原方程无解 ； （ 2） 当 1k 时，12yy与有两个交点，原方程有两个不同的解 ，分别是11xx 与 ； （ 3） 当 10k   时，12yy与有四个不同交点，原方程不同解的个数有四个； （ 4） 当 0k 时，12yy与有三个交点，原方程不同解的个数有三个； （ 5） 当 0k 时，12yy与有两个交点，原方程不同解的个数有三个。 通过图像我们可以清楚的看出 k在什么范围内两个函数它们交点的个数，从而大大的简化了我们做题，提高了做题的效率。 在方程意义下去研究二次方程且带有字母代数的，往往非常棘手，但如果先把它转化成二次函数， 并画出二次函数图象，在运用图象的性质去研究，问题就迎刃而解了，本题就是很好的佐证，将二次函数图象与一次函数图象相结合，再根据 k 的范围就能很快得出交点个数， 即方程解的个数。 所以在今后解类似题目时可以将复杂的代数转化成函数，再画出图像。 解 不等式中的应用 解不等式 ,就是要对不等式进行同解变形 ,使之变为与原不等式同解的最简不等式 .不等式灵活变换的特点和广泛应用的价值对培养学生能力，发展学生思维提出了教高的教学要求 .结合图形研究 ,可以避免复杂的讨论 ,化繁为简 . 例 4 解不等式。