实数完备性研究及应用毕业论文(编辑修改稿)

实数完备性研究及应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

而有  AaAaaa mnmn。 (充分性 )由题设， 对任给的 0 ，存在正整数 N ，当 Nn 时，  Nn aa。 即当 Nn 时，有    NNn aaa ,。 NaNa Nax 8 令 21 ，存在正整数 1N ，当 1Nn 时，   21,21 11 NNn aaa， 取     21,21, 1111 NN aa。 令221,存在正整数 12 NN  ，当 2Nn 时，   22 21,21 22 NNn aaa, 取       221122 21,21, 22 NN aa。 显然有    2211 ,   ， 2122 ，并且当 2Nn 时，  22,na。 .......... 令k21，存在 1 kk NN ，当 kNn 时，   kNkNn kk aaa 21,21, 取        2211 21,21, kk NNkkkk aa。 .......... 这样就得到一列闭区间   kk ba , ，满足 （ i）     ,...2,1, 11   kbaba kkkk ； （ ii）  kab kkk ,02 1 1 ； （ iii）对 k ，当 kNn 时，  kkna  , . 由区间套定理，存在惟一的  kk  ,。 由区间套定理的推论，对任给的 0 ，存在 0N ,当 Nn 时    。 , Ubaa nnn  ，所以  na。 这就证明了  nn alim. 故数列 na 收敛。 魏尔斯特拉斯聚点定理及其证明 聚点定理 实数轴上的任意有界无限点集必有聚点。 ]2[ 证 因为 S 为有界点集 , 所以存在正数 M , 使  MMS , , 且记    MMba , 11 。 现将  11,ba 等分为两个子区间 . 因 S 为无限点集，故两个子区间中至少有 一个含有 S 中无穷多个点，记此子区间为  22,ba ，则    2211 , baba  且 Mabab  )(211122。 再将  22,ba 等分为两个子区间，则其中 至少有一个含有 S 中无穷多个点，取 9 出 这样一个子区间，记为  33,ba ，则    3322 , baba  ， 且 2)(212233 Mabab 。 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列   nn ba , ，它满足     ,...2,1, 11   nbaba nnnn ， )(02 1   nMab nnn ， 即   nn ba , 是区间套，且其中每一个闭区间都含有 S 中无穷多个点。 由区间套定理，存在唯一的一点   ,...2,1,  nba nn。 由区间套定理的推论，对任给的 0 ，存在 0N ,当 Nn 时   。 , Ubaa nnn  .从而  。 U 内含有 S 中无穷多个点，按定义 8 为 S 的一个聚点。 推论（致密性定理） 有界数列必有收敛子列。 ]2[ 证 设 nx 为有界数列 .若 nx 中有无限多个相等的项，则由这些项组成的 子列是一个常数列，而常数列总是收敛的。 若数列 nx 不含有无限多个相等的项，则 nx 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集 nx 至少有一个聚点，记为 。 于是按 定义 8″，存在 nx 的一个收敛子列（以  为其极限）。 海涅 博雷尔有限覆盖定理及其证明 有限覆盖定理 设 H 为闭区间  ba, 的一个（无限）开覆盖，则从 H 中可选 出有限个开区间来覆 盖  ba,。 ]2[ 证 （论反证）假设定理的结不成立，则不能用 H 中有限个开区间来覆盖  ba,。 现将  ba, 等分为两个子区间 ，则两个子区间中至少有一个子区间不能用 H 中有限个开区间来覆盖。 记此子区间为  11,ba ，则    baba , 11  且 )(2111 abab 。 再将  11,ba 等分为两个子区间，同样，其中 至少有一个子区间不能用 H 中有 限个开区间来覆盖。 取出这样一个子区间，记为  22,ba ，则    1122 , baba  ， 10 且 )(21222 abab 。 将此等分子区间的手续无限地进行下去，得到一个区间列   nn ba , ，它满足     ,...2,1, 11   nbaba nnnn ， )(0)(21  nabab nnn ， 即   nn ba , 是区间套，且其中每一个闭区间都不能用 H 中有限个开区间来覆盖。 由区间套定理，存在唯一的一点   ,...2,1,  nba nn。 由于 H 是  ba, 的一个开覆盖，故存在 开区间 H),(  ，使 ),( 。 于是，由区间套定理的推论，当 n 充分大时有   ),(, nn ba。 这表明  nn ba, 只须用 H 中的一个开区间 ),(  就能覆盖，与挑选  nn ba, 时的假设“不能用 H 中有限个开区间来覆盖”相矛盾。 从而证得必存在属于 H 的有限个开区间能覆盖  ba,。 注 定理的的结论只对闭区间  ba, 成立，而对开区间则不一定成立。 11 3 实数完备性的循环证明及应用 实数完备性定理的循环证明 ]8[ 首先使用有限覆盖定理证明聚点定理 ]7[ 证 设 S 为直 线上的有界无限点集 . 于是存在 ba, 使  baS ,。 假定  ba, 在任何点都不是 S 的聚点，则对每一点  bax , 都存在相应的0x ，使得  xxU 。 内至多包含 S 的有限多个点。 令    baxxUH x ,。   ，则 H 是  ba, 的一个开覆盖，据有限覆盖定理， H中存在有限个邻域  1。 1 xxU ， ....，  nxnxU 。 ，使得覆盖了 H ，从而也覆盖了 S。 由于每个邻域中至多含有 S 的有限个 点，故这 n 个邻域的并集也至多只含有 S 的有限个点，于是 S 为有限点集，这与题设 S 为无限点集矛盾。 因此，在  ba, 中至少有一点是 S 的聚点。 接下来 用聚点定理证明柯西收敛准则 证 设数列 na 为有界数列。 若 na 中有无限多个相等的项，则由这些 项组成的子列是一个常数列，而常数列总是收敛的。 若数列 na 不含有无限多个相等的项，则 na 在数轴上对应的点集必为有界 无限点集，故由聚点定理，点集 na 至少有一个聚点，记为 。 于是按 定义 8″，存在 na 的一个收敛子列（以  为其极限）。 设数列 na 满足柯西条件。 先证明 na 是有界的 .为此， 取 1 ，则存在正 整数 N ，当 1Nm 及 Nn 时，有 11  Nn aa。 由此得 111111   NNNnNNnn aaaaaaaa。 令 }1, . . . ,m a x { 121  NN aaaaM ，则对一切正整数 n 均有 Man 。 于是，由致密性定理，有界数列 na 必有收敛子列 kna， 设 Aaknk lim。 对认给的 0 ，存在 0K ， 当 Kkmn , 时，同时有 2mn aa（柯西条件） 2AaKn （ Aaknk lim） 12 因此当取  Kknm k  时，得到   22AaaaAakk nnnn 这就证明了 Aann lim。 然后用柯西收敛准则证明确界原理 证 设 S 为非空有上界数集 .由实数 的阿基米德性 ， 对任何正数  ， 存在 整数 k ， 使得   k 为 S 的上界，而   )1(  k 不是 S 的上界 ， 即存在 S ， 使得   )1(  k。 分别取 n1 ， ,....2,1n ， 则对每一个正整数 n ， 存在相应的 n ， 使得 n 为 S 的上界 ,而 nn 1 不是 S 的上界 ， 故存在 S ， 使得 nn 1  (1) 又对正整数 m ， m 是 S 的上界 ， 故有  m . 结合 (1)式得 nmn 1 ； 同理有 mnm 1。 从而得  nmnm 1,1ma x。 于是 ， 对任给的 0 ， 存在 0N ， 使得当 Nmn , 时有   nm 由柯西收敛准则 ， 数列 n 收敛 . 记   nnlim (2) 现在证明  就是 S 的上确界。 首先 ， 对任何 Sa 和正整数 n 有 na  ， 由(2)式得 a ， 即  是 S 的一个上界。 其次， 对任何 0 ， 由 )(01  nn 及 (2)式 ， 对充分大的 n 同时有 21n ， 2 n。 又因 nn 1不是 S 的上界 ， 故存在 S ， 使得 nn 1 。 结合上式得   22。 13 这说明  为 S 的上确界。 同理可证 ： 若 S 为非空有下界数集 ， 则必存在下确界。 接着用确界原理证明单调有界定理 证 不妨设 na 为有上界的递增数列。 由 确界原理，数列 na 有 上确界， 记为  naa sup。 下面证明 a 就是 na 的极限。 . 事实上， 任给 0 ，按上确界 的 定义，存在数列 na 中的 某 一项 Na 使得 Naa 。 又由 na 的递增性，当 Nn 时有 nN aaa 。 另一方面，由于 a 是 数列 na 的一个上界，故对一切 na 都有  aaan。 所以 当 Nn 时   aaa n ， 这就证得 aann lim。 同理可证有下界的递减数列必有极限，且 其 极限 即 为它的下确界。 现在 用单调有界定理证明区间套定理 证 由定义 7 的条件 （ i） 可知 , 数列 na 为 递增有界数列 , 依单调有界定 理， na 有极限  ，且有 ,...2,1,  nan 。 同理，递减有界数列 nb 也有极限，并按区间套的条件（ ii）有   nnnn ab limlim ，且 ,...2,1,  nbn 。 综上，可得 , . . .2,1,  nba nn 。 下面证明满足 , . . .2,1,  nba nn  的  是唯一的。 设数 39。  也满足 , . . .2,1,39。  nba nn  ， 则由 ,...2,1,  nba nn  有   ,...2,1,39。  nab nn。 由区间套的条件（ ii）得   0lim39。  nnn ab，故有 39。 最后使用区间套定理证明有限覆盖定理 证 假设定理的结不成立，则不能用 H 中有限个开区间来覆盖  ba,。