等价无穷小量在求极限中的应用毕业论文(编辑修改稿)

等价无穷小量在求极限中的应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

x 求： xx xxx 22220 s ins inlim 解：原式（ 1）， 现在我们 直接使用洛比达法则 ， 则 xxxxx xxxx c o ss in2s in2 2c o ss in2lim 220   原式（ 2） 会发现，分子 分母上的求导运算越来越复杂 ， 并没有起到简化的作用。 那么怎么办呢 ?我们这时候要想到等价无穷小替换，如果在第（ 1）步中 对分母上的无穷小量 sinx 用等价无穷小量 x 来替换 ， 则3 124 2co s8lim24 2s i n4lim12 22co s2lim4 2co ss i n2lims i nlim 0020304 220   xx xx xx xxxx xx xxxxx原式 这时再 使用洛比达法则 ， 运算过程就变的简单了。 7 同样的我们看到下面 这个 例题： 例 8 )sin(tan )tan(sinlim0 xxx  解 ： 原式 xx xxx 220 s e c)c os ( ta nc os)( s ins e clim （用 洛必达 法则） )tan(sin )sin(tanlim0 xxx  （ 将 x=0 代入 ） )s in( t a n )t a n( s inlimc os)( s ins e c s e c)c os ( t a nlim 0220 xxxx xxxx    （用 洛必达 法则） 用 洛必达 法则求不出结果 ， 会一直循环下去 .怎么办。 用等价无穷小量代换 . 用等价无穷小量求极限 回到上面的例 8， 因为 x～ sinx～ tanx(x→ 0)， 所以 ,原式 = 0limxxx =1， 问题迎刃 而解。 我们再一次看到了洛必达法则的局限性以及等价无穷小替换的方便。 例 9 xxx cos1tanlim 40 求 解 当 x → 0 时 ,1 cosx ～ 212x , xtan ～ x . 221lim 220   xxx原式. 同样的， 这里如果只使用 洛必达法则 ， 上式越变越复杂 ,求出结果 也是累的半死 .改用等价无穷小替换就方便的多了。 那么是不是任何时候都可以用等价无穷小来替换呢。 8 等价无穷小代换的局限性 下面我们通过一个例题来具体讨论一下： 例 10:（ 1）30 2 2s in2tanlim x xxx  （ 2） x xxx 333sinlim0 先算 第（ 1）题 ， 利用重要极限和运算法则直接求 ： 2s i n2 2t a nlim22 s i n22t a nlim2 )2c os1(2t a nlim2 2s i n2t a nlim 203 203030   x xx xx xxx xxx xx xxxx 如果改用 等价无穷小替换： 30 2 2s in2tanlim x xxx  02 22lim 30   x xxx 明显这是一个错误的结论。 同样的 第（ 2）题 也 利用重要极限和运算法则直接求： 03 3s in1lim3 33s inlim 00    x xx xx xx 改 用等价无穷小计算： x xxx 333sinlim0 0333  x xx 结果与上式相同 . 可是 为什么会这样 呢。 有的 可以 作等价替换， 而有的题目作替换后就 出错。 【 注意 】 两个函数相减时 就 不能 随便 用等价无穷小替换 了。 那么 怎么 判断 两个函数相减时用等价无穷小替换 到底是不是合适的呢。 其 实我们只要搞清楚 等价无穷小代换的实质，原因就出在它的余项上。 第（ 1）题若用等价无穷小，实际上应当为 30 2 2s in2tanlim x xxx  3030 2 )(lim2 ))(2()(2lim xxx xxxx xx    因为 分子是 x 的高阶无穷小，而不是 3x 的高阶无穷小，所以30 2 )(lim xxx 不一定等于零。 第（ 2）题中 x xxx 3 33sinlim0  0)(lim3 ))(3()(3lim 00   xxx xxxx xx  . 【注】无穷小量的的和，差，积还是无穷小量。 这里 分子是 x 的高阶无穷小， 那么 分子与 x 的比值的极限为零。 也就是余项的阶数一定要统一，在余项的阶数不同的情况下，就不可随便等价代换。 9 以上结果说明在错用等价无穷小量时，一般是阶数的判断上出现错误，那么阶数应该怎么求呢。 请看下面的例题 阶数 的求法 例 11 .2s in2t a n,0 的阶数关于求时当 xxxx  解30 2s in2tanlim x xxx  4)2c o s12 2t a n(lim 20   x xx xx 的三阶无穷小。 是关于 xxx 2s in2t a n  例 12 .t a n,0: 3 的四阶无穷小为时当证明 xxxx  证：430tanlim x xxx 1)tan(lim 30   x xx 所以，当 的四阶无穷小是关于时 xxxx 3t a n,0。 也就是，只要使得两个作比较的无穷小量的极限的是常数，此时，与之作比较的 变量 x 的幂就是阶数。 如果作比较的无穷小量阶数不同，即等价无穷小替换出现条件限制，而使用洛必达法则又很复杂的情况下，我们还可以考虑使用泰勒公式。 利用泰勒公式求函数极限 泰勒定理： 若函数 f 在 [a,b]上存在直至 n 阶的连续导函数，在（ a,b）内存在（ n+1）阶导函数，则对任意给定的 0,xx ∈ [a,b]，至少存在一点ε ∈ （ a,b） ,使得 10)1(00)(0039。 0 )()!1( )(。