分类讨论思想在中学数学中的应用毕业论文(编辑修改稿)

分类讨论思想在中学数学中的应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

  2432  xxx 分析：常见这种问题会想到同时在两边乘以  2x ，将原方程化简为 43x ；而忽视了 2x 是否等于 0 .可以根据 2x 或 2x 两种情况 . 解：（ 1）当2x时；   4030  x 即 2x 当 2x 时；同时两边除以 2x 有 43x 即 1x 所以原方程的解为 2x 或 1x 根据数形结合进行分类 数形结合思想刻画了数量关系与图形运动的相互依存的关系，因图形位置不能确定或形状的变化，形状直观为我们提供分类讨论的方法，如求集合的交集、并集、补集时，可以用数轴来表述；以及一元二次方程的实数根分布借用二次函数与 x轴交点情况进行讨论 . 例 如图 21 中，分别以直线 m上的点 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F 为端点的线段共有多少条。 图 21 A B C D F E m 分类讨论思想在中学数学中的应用 6 分析：线段 AB 与 BA是同一条直线，如依字母排列顺序表示线段，则一条线段就对应一个左端点，不妨以线段的左端点为标准进行分类计算 . （ 1）以 A 为左端点的线段有 AB 、 AC 、 AD 、 AE 、 AF 共 5条； （ 2）以 B 左为左端点的线段有 BC 、 BD、 BE、 BF 共 4条； （ 3）以 C 为端点的线段有 CD、 CE、 CF 共 3条； （ 4）以 D 为左端点的线段有 DE 、 DF 共 2条； （ 5）以 E 为左端点的线段仅有 EF 共 1条 . 所以，共有 1512345  条线段 . 依据某些数学性质进行分类 数学研究对象往往具备一定性质，如欧偶次方根的性质；二次函数、反比例函数、指数函数的相关性质；反三角函数的定义域、值域等，再利用这些函数的相关性质解题时，就需要根据这些性质成立的相关条件进行分类讨论处理 . 例 如用分类方法来讨论正比例函数 )0(  kkxy 的图像与性质： （ 1）当 0k 时，图像经过第一、三象限， y 随 x 的增大而增大； （ 2） 当 0k 时，图像经过第二、四象限， y 随 x 的增大而减小 . 例 用分类方法讨论一元二次方程 )0(02  acbxax 的根的情况： （ 1）当 042  acb 时，方程有 2 个相异实数根； （ 2）当 042  acb 时，方程有 2 个相等实数根； （ 3）当 042  acb 时，方程没有实数根 . 依据位置关系进行分类 在几何问题中点与点，点与线，点与面，线与线，线与面等的位置关系是分类的依据，如异面直线上两点的距离；在排列组合问题中，有限制条件时，应当优先考虑特殊元素的位置关系来分类处理 . 例 A 、 B 、 C 是平面  外的三点，他们到平面  的距离分别为 3,6,6 ，求 ABC 的重心 G 到平面  的距离 . 分类讨论思想在中学数学中的应用 7 分析：如图 22，由于点 A 、 B 、 C 在平面  外，且到平面  的距离为 3,6,6 ，而他们可能在平面  的同 侧，也可能在异侧，因此要进行分类讨论 . 图 22 解：（ 1）当 A 、 B 、 C 在平面  同侧时，重心 G 到平面  的距离 53 366 d （ 2）当 A 、 B 在平 面  同侧， C 在另一侧时， 33 366 d （ 3）当 A 、 C 在平面  同侧， B 在另一侧时， 13 636 d 所以， ABC 的重心 G 到平面  的距离是 5,3,1 依据参数变化进行分类 某些含有参数的数学问题，由于所含参数取值的不唯一，会导致所得结果不同，或者由于对不同的参数值要运用不同的推演方法，这时就可以根据参数的不同取值情况进行分类讨论，比如在考虑正比例函数、二次函数的图像相关性质问题时，都会根据参数取值范围进行分类处理 . 例 直线 l 的方程为 )0(01s inc os   yx ,求直线 l 的斜率与倾斜角 . 分析：这个问题用到直线斜率与倾斜角的得概念，这些概念都是分段定义的 . 是变量，导致  cos,sin 都是会随  的改变而改变，因此在解这类问题时需要分类讨论 . 解：（ 1）当 0 时，因为直线方程为 1x ，所以直线 l 的斜率 k 不存在，倾斜角 2。 （ 2）当 0 时，因为 )tan (c o t 2   k ， 因此，当 20  时，倾斜角  2 当  2 时，倾斜角 22   根据直线斜率的定义：当倾斜角 2 时， tank ； 当倾斜角 2 时， k 不存在 . A B C  分类讨论思想在中学数学中的应用 8 所以（ 1） 0 时， 2 ， l 的斜率 k 不存在； （ 2） 20  时，  2 ， l 的斜率 k 为 tan ； （ 3）  2 时， 2  ， l 的斜率 k 为 tan ； 注意，在应用直线斜率概念时，特别是直 线运动时，要十分注意斜率是否可能不存在，否则会出现无解现象 . 根据整数的奇偶性进行分类 有些数学问题中，涉及到有关整数的问题，可以根据奇数、偶数分为两大类，其实这就是二分法的主要形式之一 .所谓的二分法就是按概念的对象有无某一性质进行分类处理 . 例 已知数列 na 的前 n 和为 nS ，满足关系式 221  nn aS，且 0na ，若  nnn Sb 1 ，求 (1)求 nS 及其数列 nb 的通项公式 . （ 2）数列 nb 的前 n 项的和 nT ． 解： ⑴  当 1n 时，由 2111 2 1  aSa， 得 11a ；  当 2n 时，由 2121 2 12 1     nnnnn aaSSa， 得    0211   nnnn aaaa ． 0na ， 21  nn aa ， 即 na 是首项为 1，公差为 2 的等差数列，从而 2nSn ，     211 nSb nnnn  ． ⑵  当   Nmmn 2 ，即偶数时， 分类讨论思想在中学数学中的应用 9 mn TT 2     222222 2124321 mm           222222 1223412  mm  2 122  mm  2 1 nn；  当  Nmmn  12 ，即奇数时，    2 12 1 22212   nnnnnbTTT mmmn ． 综上所述       NnnnT nn ,2 11 ． 第三章 分类讨论思想在中学数学中的应用 分类思想在集合中的应用 在集合运算中也常常需结合元素与集合，集合与集合之间的关系分类讨论，尤其是对一些含参数的集合问题，常 需要进行分类讨论求解． 例 设 2{ | 2 }, { | 2 3 , }, { | , },A x x a B y y x x A C z z x x A           且 BC ，求实数 a 的取值范围． 分析：当 ax2 时 2zx 的范围与实数 a 取值的正负号， a 与 2的大小均有关系，因此需针对 a 分情况讨论研究，从而求出集合 C ，再依据 BC ，计算出 a 的取值范围． 解：  axxA  2 ，  AxxyyB  ,32  321  ayy ． ⑴ 当 20a   时， 2{ | 4}C z a z  ，因为 CB ，所以 4 2 3a， 解得 12a ， 与 20a   矛盾． ⑵ 当 02a时， 2{ | 4}C z a z  ，因为 CB ，所以 4 2 3a， 解得 分类讨论思想在中学数学中的应用 10 12a ， 故 1 22 a． ⑶ 当2a时， 2{ | 0 }C z z a  ，因为 CB ，所以 2 23aa， 解得 13a   ， 故 23a． 综上可得 1 32aa． 分类讨论思想在函数中的 应用 分段函数中的分类讨论 例 已知函数( ) 3 1f x x x   ，作函数 ()fx的图像． 分析： ()fx为分段函数，没有固定统一的表达式，所以需安零点分区间研究． 解 ：⑴ 当 1x 时， ( ) 3 1 2 2f x x x x      ； ⑵ 当 13x   时， ( ) 3 1 4f x x x    ； ⑶ 当 3x 时， ( ) 3 1 2 2f x x x x     ； 即 2 2 , 1( ) 4 , 1 32 2 , 3xxf x xxx      。