函数列三种收敛的关系探究_毕业论文(编辑修改稿)

函数列三种收敛的关系探究_毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

记 为 xfn  xf ， ..ea 于  . 用符号语言表示为 若   0m 及  xfnnlim= xf ，则 xfn  xf ， ..ea 于 E. 显然，若 nf 是 E上的可测函数列，则 f 也是 E上的可测函数 . 从几乎 处处收敛 与依测度收敛的 定义中 可以看出， 前者强调的是 在点上函数集的收敛（尽管去点一个零测度集外），后者并非指在哪个点上的收敛 ， 其要点在于点集       xgxfx : 的测度应随 k 趋于无穷而趋于零 ，而 不论此点集的 位置状态如何，两者的区别在这 [7]. 这一章中我们定义了 , 几乎处处收敛依测度收敛一致收敛 基本上一致收敛 .一致收敛是指对于任意的 x 属于  ，都有 )()( xfxfn   ，而 几乎处处收敛是指去掉一个零测 集后 xfn   )(  nxf ， 依 测 度 收 敛 是 指 对 于 任 意  0 有  ffm nnlim =0 ，即    xfxfn  ，而基本上一致收敛是说去掉一个测度任意小的集合后 xfn   )(  nxf .于是，下面 我们着重讨论一下它们之间的关系 . 黑河学院本科毕业论文（设计） 6 第二章 函数列收敛之间的关系 几乎处处收敛 与 一致收敛间的关系 性质 [11] 若 xfn 在 上一致收敛 ，   上几乎处处收敛在则 xf n ，这里我们可以由一致收敛定义 对于任意的 x 属于  ，都有 )()( xfxfn   知 去掉一个零测集后 xfn  xf  n ，则结论成立 . 在数学分析中 我们知道 ， 重要的性质一致收敛是函数列极其 ，它能使极限过程和一些 可交换的运算 得到保证，但一般来说， 域收敛的函数列在其收敛 上是未必一致收敛的 .例   在nn xxf   1,0 上 不一致收敛 ，但只要从  1,0 的 右端点中去掉 任意小的一段成为  1,0 ，那么  xfn 在其上就 一致收敛 了，其实来说这种现象在某种意义下 是带有 普遍性 的 .这就是下面要提到的 叶果罗夫 定理 . 定理 （叶果洛夫） 设 )(Em ， { nf }是 E上一列收敛于一个 ..ea 有限的函数 f 的可测函数，则对任意  0，存在子集   ，使 {nf }在  上一致收敛，且)\( m  . 证明 任选一列正整数 ia ，同时作出  的子集      1 1,i ii iaa (它由 ia 而完全确定 ).则 { nf }在  ia 一 致收敛于 f 事实上，任给 0 ，选 0i ，使01i ，则当 0iaa 时， 对  x  ia 01,0 iai 都有 )()( xfxfn  01i  . 所以当给定了任一个  0 之后，如果能适当发的选取 ia ，使      iam \ ，则令   ia 它就满足定理得要求 . 但由引理，对于  =i1 ， i 1， 2， 3， 分别存在充分大 ia ，使   iam i 1,\ i2 故只要选取满足这个条件的 ia 就有    iam \  11,\i i iam =   1 ,1\i i iam 黑河学院本科毕业论文（设计） 7    1 , 1\i i iam  12i i = . 标注 1 叶 果洛夫定理中的条件 )(Em 不能去掉 .例如考虑可测函数列xfn   ,0 xn 1,2,n   ,0x .它在  ,0 上处处收敛于 xf ≡ 1 .但是在  ,0中的任一个有限测度集外均不一致收敛于 xf ≡ 1 . 但是对于   m 的情形，结论可陈述如下 :对于任给 M 0 存在 M ， M  E，  Mm M  ，使得 xfn 在 M 上一致收敛于 xf .而其逆定理是当 m 时成立 . 标注 2 设  xfn 以及 xf 均是在  上几乎处处有限的可测函数，且有   xfxfnn lim ， 于..ea .则存在可测集列 i ， i （ Ni ）， 0\ 1   i im ，使得 xfn 在每个 i 上均一致收敛于 xf . 标注 3 这个定理还告诉我们，凡是满足定理假设的 ..ea 收敛的可测函数，即使不一致收敛，它也是“基本上”（指去掉一个测度可任意小的点集后）一致收敛的 .因此在许多时候，它是提供了处理极限交换的有力工具 . 定理 设 ),( mFX 为一个测度空间， X ， nf （ ,2,1n ）为  上的可测函数列， f 为 E 上的实函数 . (1)一般的，有      于eaxfxf nn .lim   对  0 ，必然有  为  的可测子集，使得    m 且在  上，    xfxfn  . (2)当   m 时，有      于..lim eaxfxf nn 对  0 ，必然有  为  的可测子集，使    m ，且在  上， xfn  xf  n . 证明 （ 1）  由右边条件，对 mm 1，必然 有m为  的可测子集，能够使得   mm m 1  且在m上 xfn  xf  n 令  1m mF   显然      于eaxfxf nn .lim 且 黑河学院本科毕业论文（设计） 8 0  Fm  =m  1m m =   1m mm    mm  m1  0 (m + ) 故 0  Fm   0 即   0 Fm 因此    lim . .nn f x f x a e 于  . 设 ),( mFX 为勒贝格测度空间，   1,0 R ，函数 nf ：  = ,0  R ， )(xfn =  ),(,0 ],0(1 nx nx， n =1， 2，    于..1lim eaxf nn .但对于任意  0 以及任何可测集  ，当    m 时，)()( xfxfn  1 . （反正） 假设  0 ， x ， N ， 当 Nn 时 ，   1xfn  ，则对于  =1， n  N ，当 n N时，有   1xfn ,1  x   由于   ,0m =   ,0m =   0,m      所以  n,0 因而，必有  ,nxn   0nn xf 于是 10 =   1nn xf 1，互相矛盾 . （ 2）  由叶戈罗夫定理可得 . 由（ 1）中的充分性可以得到结论 . 依测度收敛与几乎处处收敛之间的关系 我们知道依测度收敛不论是在有限可测集上还是在一般可测集上，即“从整体上”推不出几乎处处收敛 . 例如 我们用以下步骤构造定义在  1,0 上的函数列，首先定义 )(10 xf =1， x  1,0 ，其次将二等分，在  1,0 上定义两个函数： 黑河学院本科毕业论文（设计） 9 xf11 =,1,21,0。 21,0,1xx ， xf12 =,1,21,1。 210,0xx ， 再将区间四等分，在  1,0 上定义 4个函数： xf21 =.41,0,0。 41,0,1xx ， xf22 =.42,41,0。 42,41,1xx ， 一般地将  1,0 区间进行 i2 等分，在 [0， 1]上定义 i2 个函数： )(2 xf ik =  .2 1,2,021,2,1iiiikkxkkx， 0≤ k i2 令 n =k + i2 (k 为正的整数 )，可用以上方法 编号得到的函数按先后顺序 得到函数列 nf ，而其中， )()( 2 xfxf ikn  ， x   1,0 此时，由于 0  1， m f = i21 = ii 22 2 ik 22 =n2 . 所以 )(xfn 在  1,0 上依测度收敛于 0x   1,0 ， )( 0xfn 中总有无穷多个 1，又有无穷多个 0 ，故 )(xfn 在  1,0 上处处不收敛 . 说明 依测度收敛 的函数列未必是 几乎处处收敛 的 . 例如 x  ,0 xfn =  ],(,0 ]。 ,0(,1 nx nx 对于任意   ,00x ， ox   n,0 有  0xfn =1存在 N 使得 Nx0 时，当 Nn时 ，即对于任给  0 有   10 xfn = 0 ，   1lim  xfnn      1xfm n    1xfm n  ,nm  这说明它不是依测渡收敛于 1. 说明 几乎处处收敛 的函数未必是 依测度收敛 的 . 定理 ),( mFX 为 测度空间，  xfn 在可测集  上几乎处处收敛于有限实函数 xh ，则  xf上可测函数毕存在  ，有nlim nfm f， f m h. 证明 因为      于..l i m eaxhxfnn，所以  0 ，使得  0m =0 ，且   xgx。