函数项级数的收敛判别法探究_毕业论文(编辑修改稿)

函数项级数的收敛判别法探究_毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

  neeeeeex nxxnnxx  于是 nxx eex 12 在 x 地一致收敛于零，因此存在 N ，当 Nn 时，对所有  ,x 有    nnxx eexeex 11 22 这样当 Nn 时，对所有 x0 ，有   xnxnkkx eexex 1 22 ，因此级数 12nnxex 在x0 上一致收敛。 定义 1： 设 )(xun ，（ .2,1 n ）都是在数集 D 上由定义的函数，若存在一个在 D上由定义的函数 S(x),对任意的 0 ，存在自然数 N,使得当 nN 时，对一切 Dx 均有 | )()(1 xsxuk k |〈  则称函数项级数 )(1 xun n在数集 D 上一致收敛于 S(x). 3 函数项级数一致收敛的判定方法 下面将给出一些判别函数项级数一致收敛的基本方法： 柯西一致收敛准则，维尔斯特拉斯判别法 （ M 判别法），狄利克雷判别法，阿贝尔判别法 以及不常用的方法，例如： 两边夹判别法、比较判别法、单调判别法、一致 L 条件判别法、导数判别法、点列判别法这几方面来介绍函数项级数一致收敛的判别方法 . 常用判别方法 定理 1 （ 柯西 一致 收敛 准则 ） 函数项级数 )(xun 在数集 D 上一致收敛的充要条件：对任意的正数  ，总存在某正整数 N,使得当 nN 时，对一切 x D 和一切正整数 p,都有 | )()( xsxs npn  | 黄冈师范学院本科学位论文 [第 7 页，共 15 页 ] 或 | )()()( 21 xuxuxu pnnn   | 判别函数项级数一致收敛性除了根据定义和柯西准则外，有些级数还可以根据级数各项的特征来判定。 例如我们 在数学分析的课本 中 , 也介绍了用阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法 掌握 解答级数 的问题 , 以下介绍 级数收敛性理论中阿贝尔判别法和狄利 克雷判别法及魏尔斯特拉斯判别法 : 设函数项级数 )(xun 定义在数集 D上， nM 为收敛的正项级数，若对一切x D ,有 | )(xun | nM ， n=1， 2 , 则函数项级数 )(xun 在 D 上 一致收敛 . 证明 ： 假设正项级数 nM 收敛，根据数项级数的柯西准则，任给正数  ，存在某正整数 N ，使得当 nN 及任何正整数 p,有 | pnn MM  1 |=   pnn MM 1 又对一切 Dx 有 | )()(1 xuxu pnn    | |)(||)(| 1 xuxu pnn      pnn MM 1 根据函数项级数一致收敛的柯西准则，级数 )(xun 在 D 上一致收敛 定理 2 （ 阿贝 尔判别法 ） (1) )(xun 在区间 I 上一致收敛。 (2)对于每一个 )}({, xvIx n 是单调的； (3) )}({ xvn 在 I 上一致有界，即对一切 Ix 和正整数 n，存在正数 M,使得 ,|)(| Mxvn  则级数在 I 上一致收敛。 证明 ：由（ 1），任给 ,0 存在某正数 N,使得当 nN 及任何正整数 P，对一切 Ix ，有 | )()(1 xuxu pnn    | XXXXXXX(论文题目 ) [第 8 页，共 15 页 ] 又由（ 2）（ 3）及阿贝尔引理得 : .3|))(|2|)((||)()()()(|111 Mxvxv xvxuxvxupnnpnpnnn    于是根据函数项级数一致收敛的柯西准则就得到定理的 结论。 定理 3 （余项判别法） 函数项级数 ()nux 在数集 D 上一致收敛于 ()Sx的充要条件是 : l im s u p | ( ) | l im s u p | ( ) ( ) | 0nnnnx D x DR x S x S x     . 定理 4 （ 狄利克雷判别法 ） （ 1） )(xun 是部分和函数 )()(1 xuxUnk kn  (n=1,2 ) 在 I 上一致有 界（ 2）对于每一个 |)(|, xvIx n 是单调的 （ 3）在 I 上 )(0)(  nxv n 则级数在 I 上一致收敛 证明 ： 由（ 1），存在正数 M，对一切 x I ,有 MxUn |)(| .因此当 n,p 为任意 正整数时， 都有 ： .2|)()(||)()(| 1 MxUxUxuxu npnpnn    对任何一个 x I ,再由（ 2）及阿贝尔引理，得到 |)()()()(| 11 xvxuxvxu pnpnnn    |) .)(|2|)((|2 1 xvxvM pnn   再由（ 3），任给  0,存在正数 N，当 nN 时，对一切 x I ,由 ,|)(| xvn 所 以  MMxvxuxvxu pnpnnn 6)2(2|)()()()(| 11    于是由一致收敛的 柯西准则，级数在 I 上一致收敛 . （注意： 利用狄利克雷判别函数级数一致收敛时， 三个条件 都应满足 ） 同样的， 结合数项级数比式判别法和根式判别法 ,可以得到 函数项级数一致收敛性的比式判别法和根式判别法 ,同时我们还 可得到函数项级数一致收敛性的对数判别法 、积分判别法 . 定理 5 （ 比式判别法 ） 黄冈师范学院本科学位论文 [第 9 页，共 15 页 ] 设 ()nux为定义在数集 D上的函数列，且 ( ) 0nux ， n=1,2,……,记 1()()()nn nuxqx ux， 存在正整数 N及实数 q,M,使得 ( ) 1nq x q，()Nu x M ， 对任意的 nN, xD 成立，则函数项级数1 ()nn ux在D上一致收敛 . 证明 : 易见 nu (x)= )()( )()( )()( )( 1211 xuxuN xuxu xuxu xu NNnnn n    = )()()()( 21 xuxqxqxq NNnn    Mq Nn 1 而等比级数 NnNn Mqq 1 当公比 0 q 1 时收敛 ,从而由 M判别法知 ,1 )(n n xu在 D 上一致收敛 . （极限形式）设 nu (x) 为定义在数集 D 上正的函数列 ,记)( )()( 1 xu xuxq nnn  ， 若 1)()(lim  qxqxq nn 且 nu (x。