探讨类比法在数学解题中的应用本科毕业论文(编辑修改稿)

探讨类比法在数学解题中的应用本科毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

。 （如图 8） （ 6） 平面内的正三角形与空间中的正四面体公式类比： 正 三 角 形 的 高 3 ,2ha 周长3,la 面积 23 .4Sa 正四面体的高 6 ,3ha 表面积23,Sa 体积 32 .12Va 正三角形内任意一点到三边的距离和为定值即正三角形的高。 正四面体内任意一点到四个面的距离和为定值即正四面体的高。 正三角形的内切圆与外接圆的圆心重合即正三角形的中心，半径比为１：２， 33,.63r a R a内切圆切于三边的中点。 正四面体的内切球与外接球的球心重合即正四面体的中心，半径比为１：３， 66,.12 4r a R a内切球切于四个面的中心。 正三角形的三边的中点的连线仍构成正三角形，边长为 2a。 正四面体的四个面的中心的连线仍构成正四面体，棱长为 3a。 6 ： 等差数列通式： 1 ( 1)na a n d   其中 1a 为首项， na 为第 n 项的通项公式， d 为公差 等差数列前 n项和公式为： 1 ( 1) / 2ns na n n d   1( ) / 2nns a a n 6 ： 等比数列的 通项公式 是： 12 11 nna a q  等比数列前 n项之和公式为： （ 1）当 q≠ 1 时， 11( 1 ) / ( 1 ) ( ) ( 1 )nn n nS a q q a a q q       或 S （ 2）当 q=1 时， 1( 1)nS na q 其中首项 1a 与公比 q 都不为零。 3 类比思想在数学性质中的体现 几何与立体几何中也存在性质之间的类比： （ 1） 三角形存在唯一的外接圆和内切圆， 三棱锥存在唯一的外接球和内切球； （ 2）三角形的三条中线相交于一点，且该点分每条中线的比为 1:2 ， 三棱锥的四条中 线相交于一点，且该点分每条中线的比为 1:3 ； （ 3）三角形的三条角平分线交于一点，这个点是三角形内切圆的圆心， 三棱锥的六个二面角的平分面相交于一点，这个点是三棱锥内切球的球心。 （ 4）在直线上，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中点； 在平面上，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中垂线； 在空间中，到两点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的线段的中垂面。 （ 5）在直线上，到定点的距离相等的点的集合是等距的两点； 在平面上，到定点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的直径的圆； 在空间中，到定点的距离相等的点的集合是以这两点为端点的直径的球面。 （ 6）平面内的一般三角形与空间中的四面体性质类比： 三角形 四面体 三角形两边之和大于第三边 . 四面体任意三个面的面积之和大于第四个面的面积． 三角形的三条内角平分线交于一点且该点是三角形内切圆的圆心 . 四面体的六个二面角的平分面交于一点，且该点是四面体内切球的球心． 三角形任意两边中点的连线平行于第三边，且等于第三边的一半 . 四面体任意三条棱的中点连成的三角 形的面积等于第四个面面积的 14 ,且该三角形所在平面平行于第四个面 . 三角形的任何一条边上的中线将三角形分成面积相等的两部分 . 四面体的任何一个三角形面上的一条中线和这个三角形所在平面外一顶点所确定的平面将这个四面体分成体积相等的两部分． 三角形的三条中线交于一点，且三角形的每一 将四面体的每一个顶点和对面的重心相连 13 （ 7）平面内的正三角形与空间中 的正四面体性质类比： 正三角形（边长为 a ） 正四面体（棱长为 a ） 正三角形的三边相等． 正四面体的四个面面积相等，六条棱长相等． 正三角形的三角相等． 正四面体的四个面中任意两面所成的二面角都相等（注：不为 60 ），各条棱与其相交面所成的线面角都相等，相交的棱的夹角都相等．（注：异面棱垂直） ： m n p q, m n p qa a a a     (1) 若 则 ： 存 在 m n 2 p , 2m n qa a a   (2) 若 则 ： 以上 均为正整数。 ： ( 1 ) N m n p qm n p q a a a a若 、 ，且 m + n = p + q ，且 ( 2 ) K在 等 比 数 列 中 ，依 次 每 项 之和仍 为 等 比 数 列 G 是 a、 b 的等比中项 2G =ab（ G≠ 0）。 4 类比思想在数学解题中的体现 运用类比思想对可能的解题方法进行猜测，往往可以得到正确的解题思路，美国著名的数学家 《怎样解题》中这样说过：“在求证或求解一个问题时，如果能成果的发现一个类比题，那么这个类比问题可以引导我们达到原问题的解答”。 下面通过例子来分 析类比思想在数学解题中的体现： 7 O 所作的两条射线 OM、 ON 上分别有点 1M 、 2M 与点 1N 、 2N ，则三 角形面积之比为：21212211 ONONOMOMSSNOMNOM  . 若从点 O 所作的不在同一个平面内的三条射线 OP、 OQ 和 OR 上分别有点 1P 、 2P 与点 1Q 、 2Q 和 1R 、 2R ，则类似的结论为： .8 条中线被该点分成的两段的比为 2： 1. 接，所得四条线段交于一点，且其中每一条线段被交点分成的两段的比都是 3： 1 14 分析 在平面中是两三角形的面积之比，类比到空间应是体积之比。 关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比： 多面体 多边形； 面 边 体 积 面 积 ； 二面角 平面角 面 积 线段长； … … 这道题显然用到了多面体 多边形；体 积 面 积 ； 即 11NOMS 111RQPOV ； 22NOMS 222 RQPOV ； 2121 ONONOMOM  212121 OROROQOQOPOP  ； 故猜想222111RQPORQPOVV212121 OROROQOQOPOP  . 本题主要考查由平面到空间的类 比，要求考生由平面上三角形面积比的结论类比得出空间三棱锥体积比的相应结论。 何中，有勾股定理：“设  ABC 的两边 AB、 AC 互相垂直，则.222 BCACAB  ”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥 ABCD 的三个侧面 ABC、 ACD、 ADB 两两相互垂直，则 .” 9 分析 此题依旧是空间问题与平面问题的类比 跟上题所不同的是这道题用到了多 面体 多边形； 面 边； 即  ABC 三棱锥 ABCD ； AB， AC ADBS ， ACDS ， ADBS ； BC BCDS . 根据上题的分析，可类比猜测本题的答案： 2ABCS 2ACDS 2ADBS 2BCDS  DEF 中 有余弦定理： D F EEFDFEFDFDE  c os2222 . 拓展到空间，类比三角形的余弦定理，写出斜三棱柱 ABC 111 CBA 的 3 个侧面面积与其中两个侧面所成二面角之间的关 15 系式，并予以证明 .10 分析 根据类比猜想 多面体 多边形；面 边； CBAA B C 11 D E F  斜三棱柱即 ； 1 1 1 1 1 1。 A A C C A B B A B CC BD E S D F S E F S   得出 c o s21111111111 222 BB C CAA B BBB C CAA B BCCAA SSSSS . 其中  为侧面为 11AABB 与 11BBCC 所成的二面角的平面角 . 证明： 作斜三棱柱 111 CBAABC  的直截面 DEF，则 DFE 为面 11AABB 与面11BBCC 所成角，在 DEF 中有余弦定理：  c os2222 EFDFEFDFDE ， 同乘以 21AA ，得  c o s2 11212212212 AAEFAADFAAEFAADFAADE . 即 c o s21111111111 222 BB C CAA B BBB C CAA B BCCAA SSSSS . 本题考查由平面三角形的余弦定理到空间斜三棱柱的拓展推广，因为类比是数学发现的重要源泉。 ： 122 yx ， ① 与 1)3( 22  yx ② 则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广。