拉格朗日插值及中值定理的应用毕业论文(编辑修改稿)

拉格朗日插值及中值定理的应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

例 1：令 ()12xfx  ， (0,1)0,1xx ()fx在  0,1 上不连续，在  0,1 上可导 12 但不存在 (0,1) 使得 (1) ( 0 )( ) 010fff    即 0 1 Lagrange 中值定理的结论不成立。 在 第三章 中，将会陆续的介绍 Lagrange 中值定理 在证明不等式，求函数极限，以及研究函数在区间上性质中的应用。 第二章 : Lagrange 插值 Lagrange 插值的适定性 在引言部分，我们已经给出了 Lagrange 公式的具体表达式，接下来将 证明Lagrange 插值问题的解存在且唯一。 首先来证明 Lagrange 插值解的 存在性。 ： 为此我们需要构造一个特殊的插值多项式 inlP ， 满足条件 ： 0( ) ,1i k i klx   ， ikik () 其中， , 0,1 , , iki k n  我们称为 kerKronec （克罗内克）符号。 由 ()可知 ()kx k i 是 n 次代数多项式 ()ilx的 n 个零点。 所以 ()ilx也可以表达成： 0 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i nl x c x x x x x x x x     其中 c 为待定常数。 （ ） 我们先令 ()iilx=1，容易求出：   10 1 1( ) ( ) ( ) ( )i i i i i i nc x x x x x x x x      （ ） 于是将 （ ）代入到（ ）中可得到 0 1 10 1 1( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( )i i nii i i i i i nx x x x x x x xlx x x x x x x x x        （ ） 利用上述函数 ()ilx，容易验证出： 0( ) ( )nn i jjL x y l x （ ） 从而满足插值条件： ()n i iL x y ， 0,1 ,in 存在性得证 其次证明 唯一性 ： 设 n 次多项式 ()nLx和 ()nQxLagrange 插值问题的解，则有表达式： ( ) ( ) ( )n i n i iL x Q x f x 0,1 ,in 由该等式，可记 ( ) ( ) ( )nnG x L x Q x，则有 ()nGx P ，并且 ( ) 0iGx ， 0,1 ,in 即 ()Gx有 1n 个零点， 由 高等代数上的基本知识点可知，如果一个 n 次代数多项式至少存在有 1n 个根，则它的表达式一定恒为零，因此 ( ) 0Gx ， 即 ( ) ( )nnQ x L x 唯一性得证 线性插值和抛物线插值 线性插值 多项式 的定义 假定已知区间  01,xx 的端点处 的函数值为 00()y f x ， 11()y f x ， 并 要求线性插值多项式 1()Lx使它满足以下两个条件： 1 0 0()L x y ， 1 1 1()L x y 1()y L x 的几何意义是：通过两个点 00( , )xy 和 11( , )xy 的直线，如图 1所示 1()Lx的表达式可由几何意义直接给出： 101 0 010( ) ( )yyL x y x xxx   （点斜式） 1y 011 0 10 1 1 0() xxxxL x y yx x x x （两点式） 0y 由两点式方程可以看出： 0x 1x 1()Lx由两个线性函数 1001()xxlx xx  ， 0110()xxlx xx  的线性组合得到， （图 1） 其中系数分别为 01,yy， 1()Lx 0 0 1 1( ) ( )l x y l x y。 显然 0()lx和 1()lx是插值多项式。 在节点 0x 和 1x 满足以下条件： 00()1lx ， 01( ) 0lx ， 10( ) 0lx ， 11( ) 1lx 称函数 0()lx和 1()lx为一次插值基函数或线性插值。 图像如下： 1 0()lx 0 0x 1x 抛物线插值 多项式 的定义 当 2n 时，假设节点 插值 为 1ix ， ix ， 1ix ，二次的插值多项式为 2()Lx， 以使其 满足条件： 2()jjL x y （ 1, , 1j i i i   ）， 其 2()y L x 的几何意义是：通过三 点 11( , )iixy， ( , )iixy ， 11( , )iixy的抛物线。 1 1 11 1 1( ) 1 , ( ) 0( , 1 )( ) 1 , ( ) 0( 1 , 1 )( ) 1 , ( ) 0( 1 , )i i i ji i i ji i i jl x l x j i il x l x j i il x l x j i i                 例如 1()ilx ，因为它有两个零点 1,iixx ，故可以将它表示成 1()ilx。 由 11( ) 1iilx ，得 1 1 11( )( )i i i ic x x x x   。 所以： 11 1 1 1( ) ( )() ( ) ( )iii i i i ix x x xlx x x x x   。 同理： 111( )( )() ( )( )iiii i i ix x x xlx x x x x ， 111 1 1( ) ( )() ( ) ( )iiii i i ix x x xlx x x x x   函数 11( ), ( ), ( )i i il x l x l x称为二次插值基函数或抛物插值基函数。 在区间 11[ , ]iixx上的图像为： 1()ilx ()ilx 1()ilx （ 图 2） 基于抛物线插值函数 11( ), ( ), ( )i i il x l x l x可以立即得到抛物线插值多项式： 2 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( )i i i i i iL x l x y l x y l x y      显然它满足条件 2 ( ) ( )j j jL x l x y （ 1, , 1j i i i   ） 即 ：1 1 1 12 1 11 1 1 1 1 1 1( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )i i i i i ii i ii i i i i i i i i i i ix x x x x x x x x x x xL x y y yx x x x x x x x x x x x                      拉格朗日的数值算法计算（见附录 1） 下面将用具体的实例 ,来演示 Lagrange 插值公式的算法 ,给出一个简单求函数逼近的例子： 已知 1 0 0 1 0 , 1 2 1 1 1 , 1 4 4 1 2，试分别用线性插值和抛物线插值公式求出 125 的近似值。 由于在上面章节中介绍了线性插值公式和抛物线插值公式，只需要套入公式即可求出 125 的近似计算值，接下来我们用算法，同样也能求出其近似值。 第一步：首先我们输入节点个数 2 第二步：我们通过算法输入插值节点数（ 121， 11）、（ 144， 12） 第三步：我们输入需要求出的节点 125 第四步：运算求出结果（结果如下所示） 通过上述方法，我们同样可以求出当节点数为三个的时候， 125 的近似值，其计算结果如下图所示。 通过查表和计算器计算可得 125 的近似值为 ，经过比较上述结果可知，插值节点个数越多，求得的结果越靠近其实际值，但插值公式也存在明显的不足，如果增点一个新的节点，那 Lagrange 因子也必须重新计算，影响了实际的工作效率，在实际中输入的插值节点个数越多，虽然求得的数越精确，但是也会变得相当繁琐。 拉格朗日插值在实际生活中的应用 资产的评估公式 : 资产 =重置所有价格大幅贬值 功能性贬值 经济性贬值的价值 它的意义在于 ,资产评估在利用现时的条件下 ,被评估的资产在全新状态下的重置资本减去各种陈旧贬值后的差额作为被评估资产的现时价值。 （引 用于 百度百科 ） 理论与实际生活中的联系 假设某类电子设备的 1n 的功能参数和价格，及已知晓该电子设备的功能参数： 01,nx x x ，其对应的价格参数为： 01, ny y y。 x 0x 1x 2x „„ nx y 0y 1y 2y „„ ny 由图标关系看出功能参数与及格的函数关系为 ： ()y f x 假设在参数区间内存在一条代数多项式的函数曲线，在函数曲线上所有的数值都满足一一对应关系，用函数曲线作为 ()y f x 的模拟曲线，这就是我们用到的 Lagrange 插值法。 利用这条曲线，输入新的插值点，即可重置成本的参考价格。 如右图所示： 而拉格朗日插值多项式为： 0 1 10 0 1 1( ) ( ) ( ) ( )() ( ) ( ) ( ) ( )n i i nnii i i i i i i nx x x x x x x xL x y x x x x x x x x        令 1, 2nn时可分别得到线性插值和抛物线插值。 如下图所示： 计算机运行方法分析 根据上述分析，如若电气设备的信息点越多，曲线的拟合度就变得越加复杂，而评估的准确率就会更高，计算公式就会变得相当复杂，这时我们需要借助计算机。 把 Lagrange 表达式化成 :0 0( ) ( )nn jnii j ijjixxL x yxx   由上述公式和 ,见 附录 2 y = f x( )yxy ny 2y 1y 0x nx 2x 1x 0oy = f x( )y 1y 0x 1x 0oyxy 2x 2y = f x( )y 1y 0x 1x 0oyx 结论 由以上 程序框图 分析可知 ,采用 Lagrange 插值法计算设备的功能重置成本 ,计算精度较高 ,方法快捷。 但是 ,由于上述方法只能针对可比性较强的标准设备 ,方法本身也只考虑单一功能参数 ,因此 ,它的应用范围受到一定的限制。 作为一种探索 ,可将此算法以及其他算法集成与计算机评估分析系统中 ,作为传统评估分析方法的辅助参考工具 ,以提高资产价值鉴定的科学性和准确性。 评价与总结 Lagrange 插值方法 是 最基本的插值方法， 拉格朗日插值公式是对称的，容易记忆，理解 ， 在了解，证明，应用 Lagrange 插值公式的过程中， 不仅要注重理论知识， 更加要应用到实际生活中去，不仅只有大学才能用 Lagrange 公式来解决各种问题，高中的部分问题用 Lagrange。