辅助函数在数学分析上的应用毕业论文(编辑修改稿)

辅助函数在数学分析上的应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

， 两式相除得 xaby ； 由 22axyz ，22c zxy ， 两式相除得 xacz ． 再将 xaby ， xacz 代入 01222222  czbyax ， 得 3ax，3by，3cz， 于是最大的体积为 毕业设计（论文） 4 338abcV． 不是任何函数都可以用来构造辅助函数，单调函数和拉格朗日函数都可以构造辅助函数来解决问题，当然还有部分可积函数、延拓函数等其它函数也可 以构造成辅助函数，能够造成辅助函数的函数必须具有其相应的性质或功能，这样才能使得问题得到解决． 毕业设计（论文） 5 3 辅助函数的构造方法 要想进一步探究 辅助函数法在数学分析中的运用，笔者认为应该明晰对怎样构造辅助函数这一问题．如下将详略地介绍构造辅助函数的几种方法： 几何法 数学分析中，存在有些概念或命题具有特殊的集合意义．例如函数在某点出的导数值为曲线对应点处切线的斜率，定积分的几何意义为曲边梯形的面积；罗尔定理的几何意义为曲线上至少存在一点处的切线平行于轴等．对于这些问题 ，依据其集合意义构造函数，接着利用已有的知识便迎刃而解． 积分意义法 例 5 设函数 )(xf 在上连续，在 ),( ba 内可导，且 0)(39。 xf ．证明：存在唯一的）（ ba, 使曲线 )(xfy 与直线 xa 及 )(fy 所围成的面积 1S 是 )(xfy 与直线 bx 及 )(fy 所围成的面积 2S 的三倍． 分析 利用定积分知     dxfxfSdxxffS ba   )()(,)()(21． 因此，要证    dxfxfdxxff ba   )()(3)()( ， 可作辅助函数：     ),(,)()(3)()()( baxdxfxfdxxffx ba   ， 用介值定理证明  的存在性，用导数证明  的存在性，用导数证明  的唯一性． 证明 作     dxfxfdxxffx ba   )()(3)()()( ， 则      badxxfbfbfdxafxfaf 0)()()(,0)()(3)( ． 毕业设计（论文） 6 )(x 在  ba, 上连续，由介值定理知，存在  使 0)(  ， 又 )(x 在 ),( ba 内可导，且 )()34()( xfbaxx  ， 由 0)( xf 知， 43bax  是 )(x 的极小值点， 即 )(x 在  43, baa上单调减少，而在   bba ,43上单调递增， 故 ),43( bba 且是唯一 的． 三点定抛物线法 一般地，过三点 ),(),(),( 332211 yxyxyx 的二次抛物线的方程为： 31323 1221232 1313121 32 ))(( ))(())(( ))(())(( ))(()( yxxxx xxxxyxxxx xxxxyxxxx xxxxxp     对于含函数 )(xf 在二阶导数的问题，若知道函数在不同的三点处的值，便可利用“三点定抛物线”，另 )(x 等于 )(xf 与抛物线纵坐标差值来解决． 例 6 设 )(xf 在  40， 上二阶可导，且 2)4(,1)1(,0)0(  fff ，证明存 )4,0( ，使 31)( xf ． 证明 过三点 )2,4(),1,1(),0,0( 可做抛物线 xxy 6761 2  ， 令 毕业设计（论文） 7 )6761()()( 2 xxxfx  ， 则 31)()(  xfx ， 且 0)4()1()0(   ， 在   4110 ，， 上对 )(x 用罗尔定理，存在 )4,1(),1,0( 21   使得 0)()( 21   ， 在  21, 上对 )(x 用罗尔定理得，存在 )4,0( 使得 0)(39。 39。 x ，即 31)( f ． 原函数法 在利用微分中值定理求解介值（或零点）问题时，与证明的结论往往是某个函数的导函数的零点，因此可通过不定积分反求出原函数作为辅助函数．具体步骤为 [8]： （ 1)将欲证结论中的  （或者 0x ）换成 x ； （ 2）通过恒等变形，将结论化为易积分（或容易消除导数符号）的形式； （ 3）用观察法或凑微分法等方法示出原函数，为简便起见，可将积分常数去为零； （ 4）移项，使等式一边为零，则等式的另一边即为所需的辅助函数． 例 7 设 )(xf 在  ba, 上连续，在  ba, 内可导， ba0 ，证明：在  ba, 内必存在一点  ，使 )(39。 )( ln)()(  fabafbf  ． 证明 将要证明结论中的  换成 x ，在变形为   )()( ln1)()( xfabxafbf  ， 则 )(xF 在  ba, 上连续，在  ba, 内可导，且 毕业设计（论文） 8 bafabfaFbF ln)(ln)()()(  ， 由罗尔定理知，存在 ),( ba ，使得 0。