连续系统时域与复频域分析的计算机仿真毕业设计(编辑修改稿)

连续系统时域与复频域分析的计算机仿真毕业设计(编辑修改稿)内容摘要：

)()()()(0111101111tfbtfdtdbtfdtdbtfdtdbtyatydtdatydtdatydtdmmmmmmnnnnn 其中 mjbnia ji ，，；，  212,1, 为常数 (与时间无关 )， n为方程的阶数，也就是系统的阶数。 系统的基本结构 如前所述，实际系统通常由许多子系统组合而成。 子系统的相互连接一般有串联（级联）、并联、反馈连接等三种。 例如图 所示检测系统，信号（温度、压力、速度等）经过传感器转换为电信号，然后经过放大器适当放大，再送入显示器。 这三个子系统的连接形式就是串联。 对外部输入 的信号 )(tf ，分别用一个低通滤波器和两个不同中心频率的带通滤波器处理后相加，这三个子系统的连接形式称为并联。 总之，不论系统的连接形式与功能如何，信号总是与系统相伴存在，信号经由系统才能传输。 虽然各种传输的信号内容可能不同，但信号通过系统的规律是一致的。 因此，本书所介绍的信号与系统的许多理论和方法具有普遍的指导意义。 它不但适用于电系统，而且也适用于生物、海洋、机械等非电系统。 线性系统的性质 为了适应实际工程的需要，系统的组成形式是多种多样的，但按其工作 性质来说，可分为线性与非线性系统；时不变与时不变系统；因果系统与非因果系统等，这里重点介绍线性、时不变性和因果性。 线性 性质 前面已经涉及到这个性质，这里更进一步讨论这个问题。 我们知道，线性包含叠加性和齐次性两个概念。 叠加性是指：如果输入为 )(1tf 时，系统响应为 )(1ty ；输入 )(2tf 时系统的响应为 )(2ty ，则有 )()()()( 2121 tytytftf 。 齐次性是指：当系统输入为 )(tf 时，响应为 )(ty ，当输入增至 a 倍，即 a )(tf 时，则系统响应为 a )(ty。 同时满足叠加性和齐次性的系统称为线性系统，则对于任意常数 1a 和 2a ，有 )()()()( 22112211 tyatyatfatfa  不满足上述关系的系 统称为非线性系统。 一个系统是否为线性系统，还可以直接从其描述方程判断。 若系统是以线性代数方程或线性微（积）分方程描叙的，则该系统就是线性的。 线性系统具有三个重要特性：即微分特性、积分特性和频率保持性。 微分特性 如果线性系统的输入 )(tf 引起的响应为 )(ty ，如图 （ a）所示。 则当输入为 )(tf 的导数 dttdf)( 时，其响应将变为 )(ty 的导数 )()(tdtdy。 积分特性 如果线性系统的输入 )(tf 引起的响应为 )(ty ，则当输入为 )(tf 的积分dft )(0 时，其响应将变为 )(ty 的积分  dyt )(0。 频率保持性 频率保持性是指：如果线性系统的输入信号含有角 频率 1 , 2 , „ , n 的成分，则系统的稳态响应也只含有 1 , 2 , „ , n 的成分（其中某些频率成分的幅值有大有小或可能为零），换言之，信号通过线性系统后不会产生新的频率分量。 连 续系统的时域分析 系统的零输入响应与零状态响应 „„„„„ „„„ „„„„„„ „„„ 线性时不变系统的全响应可作如下分解： 1. y(t) = 自由响应 + 强制响应； 2. y(t) = 瞬态响应 + 稳态响应； 3. y(t) = 零输入响应 yx(t) + 零状态响应 yf (t) (210) D(p)y(t) = N(p)f(t) D(p)yx(t) = 0 D( p)yf(t) = N(p)f(t) 一、系统初始条件 分别将 t=0 和 t=0+ 代入式 (210)得 y(0)= yx(0)+ yf(0) (211) y(0+)= yx(0+)+ yf(0+) (212) 对于 因果系统 ，由于激励在 t = 0时接入，有 yf(0)=0 对于 时不变系统 ，内部参数不随时间变化，故 零输入 时有 yx(0+ )= yx(0) 因此，式 (211)和 (212)可改写为 y(0 )= yx(0 )= yx(0+ ) (213) y(0+)= y(0)+?yf(0+) (214) 同理，可推得 y(t)的各阶导数满足 y(j )(0)=yx(j )(0)= yx(j )(0+), j = 0, 1, 2, …, n1 (215) y(j )(0+)= y(j )(0)+?yf(j )(0+), j = 0, 1, 2, …, n1 (216) 经典解法 ： (算子方程 + 0+?初始条件 ) (算子方程 + 0+?初始条件与卷积积分 ) y(t) = yx(t) + yf (t) 本书解法： (算子方程 + 0?初始条件 ) (传输算子的部分分式分解与卷积积分 ) 可省去式 (216)和 (216)求系统 0+?初始条件所需的计算量。 二、通过系统微分算子方程求零输入响应 将 f(t)50代入式 (27)，可得零输入下 LTI 连续系统的微分算子方程为 t/0 (217) 上式中 yx(t)前的算子多项式就是传输算子 H(p)的分母多顶式 D(p)，要使上式 成立，需满足D(p)= 0（ 特征方程 ），其根称为系统的 特征根。 下面针对两种情况来求 yx(t)。 1．特征根为 n 个单根 p1 , p2 , …, pn (可为实根、虚根或复根 ) = t≥0 (218) 将 yx(0)、 yx39。 (0)、 …、 yx(n1)(0)代入上式及其直至 n = 1阶导函数表达式 = 积分常数 AA …、 An . 当特征根为共轭的复根或虚根时， yx(t)最终表达式中相应的两复数项可通过欧拉公式： cosωt = (ej ωt + e–j ωt )及 sin ωt = (e–j ωt ej ωt )化简为三角实函数。 2．特征根含有重根 不妨设特征根 p1为 r 重根，其余特征根为单根 (更复杂的情况以此类推 )，则零输入响应 yx(t)的通解表达式为 (219) 确定积分常数的方法同上。 3．求解零输入响应 yx(t)的基本步骤 (1) 通过微分算子方程或传输算子的分母多项式 D(p)求系统的特征根。 (2) 写出 yx(t)的通解表达式，如式 (218)或式 (219)所示。 (3) 由系统的 0 状态值与 0 瞬时的零输入系统求出零输入系统的 0 初始条件 yx(j )(0 ), j=0, 1, 2, …, n1。 (4) 将 0 初始条件代入 yx(t)的通解表达式及其直至 n1阶导函数表达式，求得积分常数 A1, A2, …, An。 (5) 写出所得的解 yx(t)，必要时画出 yx(t)的波形。 冲激函数与阶跃函数 „„„„„ „„„ „„„„„„ „„„ „„„„„ 一、单位阶跃函数 U（ t） =0 t〈 0 U（ t） =1 t〉 0 其波形如图所示，在跳点 t=0处，函数值未定义。 有时也可以定义为 1/2， 即 U（ 0） =1/2。 这里我们不定义 U（ 0）的值。 二、单位冲激函数 单位冲激函数又称为狄拉克函数。 它具有选择性。 冲激响应与阶跃响应 „„„„„ „„„ „„„„„„ „„„ „„„„„ 一、冲激响应 当激励为单位冲激函数时，电路的零状态响应称为单位冲激响应，简称冲激响应，用 h（ t）表示。 如图所示的一阶 RC 电路，在激励作用前处与零状态。 现讨论电压源为单位冲激函数时，电容电压的冲激响应。 根据图可以列出电 容电压 Uc（ t）为待求响应的微分方程dUc/dt+1Uc/RC=Us/RC 二、阶跃响应 当激励为单位阶跃函数时，电路的零状态响应称为单位阶跃响应，简称阶跃响应，用 g（ t）表示。 我们还用上面的图为例说明： 阶跃响应 g（ t）应该是方程 dg（ t） /dt+g（ t） /RC=U（ t） /RC 卷积及其应用 „„„„„ „„„ „„„„„„ „„„ „„„„„„ „„ 任意两个函数卷积    dtffty )()()( 21 积分限由 )(),( 21 tftf 存在的区间决定，即由 0)()( 21  tff 的范围决定。 卷积的图解说明 )()( 11 ftf  ：积分变量改为 ，积分结果是 t 的函数； )()()()( 2222     tffftf 时延倒置对  时延 t，   tt)( 相乘： )()( 21   tff 乘积的积分  dtff )(.)(21  卷积的性质 代数性质 :交换律 分 配律 结合律 微分积分性质 与冲激函数或阶跃函数的卷积 卷积的应用 用 (t)函数序列表示任意信号   0 )()()(  dtftf 利用卷积求系统的零状态响应 )0(,)()()( 0     tdthftg  连续系统时域分析的 MATLAB 实现 „„„„„ „„„ „„„„„„ „„„ 用 MATLAB 实现信号 连续系 统的复频域分析 拉普拉斯变换 拉普拉斯變換的定義 一個實函數 )(tf ，其單邊拉普拉斯變換 (Laplace Transform) )(sF 定義為   0 )()( dtetfsF st 式中  js  為複數， F(s)稱為 )(tf 的拉氏變換（或象函數），而 )(tf 稱為 F(s)的拉氏反變換（或原函數）。 式 ()表明，拉氏變換是一種積分變換。 它把原函數 )(tf 乘以 est 再對 t 進行積分，其結果成為複變數 s 的復函數 )(sF ，即拉氏變換是把時域內的函數 )(tf 變換到 s 域內的複變函數 )(sF。 因為  js  中除了虛部 j 外還有實部  ，故常稱 s 為複頻率。 从上式可見，一個時域函數的拉氏變換 存在的條件為該式右端的積分為有限值，即要求   0 )( dtetf st 由於 eee ttjtst e    . 故對某些值  ，只要使得 0)(lim  etftt 則 F(s)必然存在。 式 ()中的積分下限取為 0 是為了考慮 )(tf 中可能包含有出現在 t=0 瞬間的沖激信號，如果 )(tf 中無沖激，則積分下限可寫為零。 如果 )(sF 已知，可求出它對應的原時域函數 )(tf。 可以證明，從 )(sF 到 )(tf的拉氏反變換由下式確定  jj st dsesFjtf )(21)( () 式 ()和 ()稱為拉普拉斯變換對，通過式 ()的拉氏變換可將時域函數)(tf 變換為複頻域 (s 域 )的函數（象函數 ） )(sF ；反之，由式 ()可把複頻域函數 )(sF 反變換為對應的時域函數 )(tf。 式 ()和 ()可記為 )(sF L )]([ tf )(tf L — 1 )]([ sF 上述變換的對應關係也經常簡記為 )()( sFtf  拉氏變換也是線性積分變換，因此有線性性質 ，即 )()()()(22112211 sFasFatfatfa  () 常用信號的拉普拉斯變換 以下用定義式 ()計算一些常用信號的拉氏變換。 單位沖激信號 )(t 1)()(0    dtetsF st 即 1)( t。