蒙特卡洛算法的欧式期权定价问题研究学士毕业论文(编辑修改稿)

蒙特卡洛算法的欧式期权定价问题研究学士毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

1 所对应的渐进置信区间可以表示为nZ    2/n。 实际上，由此不仅确定了置信区间，还可以确定蒙特卡洛算法上的概率化误差边界，其误差为n 2/Z，误差收敛速度是  2/1nO。 由以上数据及公式，我们不难看出，蒙特卡洛算法的误差是由  和 n 同时决定的。 在对同一个  进行 抽样的前提下，若想将精度提高一位数字，要么固定 ，将 n 增大 100 倍；要么固定 n 将  减小 10 倍。 若两个随机变量 1 ， 2 的数学期望       21 EE ， 21  ，那么无论从 1 或 2 中抽样均可得到  的蒙特卡洛估计值。 为比较其误差，我们可以假设获得 i 的一个抽样所需的机时为 1t ，那么在时间 T 内生成的抽样数 ii tT/n  ，若使2211n n  ，则需使 2211 tt  。 因而，若要提高蒙特卡洛算法的效率，不能单纯的考虑增加模拟的次数 n 或是减少方差 2 ，应当在减小方差的同时兼顾抽取一个样本所耗费的机时，使方差 2 与天津科技大学 2020届本科生毕业论文 8 机时 t 的乘积尽量的小。 蒙特卡洛算法的优缺点 蒙特卡洛算法能够逼真的描述具有随机性质的事物的特点，并且受几何条件的限制很小。 除此之外，其收敛速度与待解决的问题的维数是不相关的。 维数若要变化，只会引起抽样所需的时间及计算估计量的时间的变化，并不会影响误差，这个优点决定了蒙特卡洛算法对多维问题的适应性。 这是普通的数值方法几乎都难以攻克的问题。 另外，它还具有同一时间计算多个方案和多个未知变化量的能力， 且其误差容易确定。 利用高级计算机进行计算时，使用该方法的程序结构较为简单，分块性强，更容易令其实现。 当然，无论什么方法都是有利有弊的，蒙特卡洛算法也不会存在例外。 在维数相对较低的情况下，其相应收敛速度相对较慢，而且其误差是在一定的置信水平下估计的，所以它的误差是具有一定的概率性的，此外，它的计算结果事实上是依赖于系统的大小的，对于大系统大概率事件或者是小系统小概率事件的问题，经计算研究发现其计算结果往往比真实值还要偏低。 关于期权的一些介绍 期权的概念 期权，也可以称之为选择权，它其实 是一种在期货的基础上产生的一款非常实用的衍生性金融工具。 就期权的本质而言，它其实指的是在未来的一定的时期内可以随意自由进行买卖 的权利，是买方向期权卖方支付一定数量的金额（权利金）后，拥有的 在未来的一段时间内（特指美式期权）或未来的某一特定日期（特指欧式期权），以事先规定好的价格（履约价格）向期权卖方购买或出售一定数量的特定标的物的权利，但是并不负有期权必须买进或卖出的义务。 期权在金融领域中，实质上是将权力和义务分开进行定价的，从而使权利的受益人在规定时间内决定是否进行交易，行使其本就有的权利，而义务方不 允许拒绝。 在本文表21 中，详细的阐述了在期权交易过程中，双方权利与义务的关系。 表 21 期权交易中买卖双方的权利与义务关系表 买方 卖方 权利与义务关系 有权利无义务 有义务无权利 期权费 支出 收入 履行合约 主动决定 被动接受 最大损失 期权费或期权金 无限 最大获利 无限 期权费或期权金 天津科技大学 2020届本科生毕业论文 9 期权的分类 期权由于其交易方式、交易方向以及标的物等方面的不同，导致产生了众多的期权品种，只有对它们进行合理的分类，我们才能对期权有更多更好的了解。 本文重点介绍的是欧式期权，它是按 照交割时间来进行划分的。 目前市面上的期权种类主要有三种，分别是：欧式期权、美式期权、亚式期权三类。 欧式期权指的是在期权合约规定的到期日才可以行使该权利，期权的持有者在合约到期日 之前不能行使权利，而如果过了期限，合约则会自动作废。 欧式期权的结算日是履行合约后的一天到两天。 目前国内的外汇期权交易几乎都是采用的欧式期权合同方式。 美式期权指的是在期权合约规定的有效期内，包括期权到期日在内的任何时间，持有者都可以行使该项权利。 美式期权的结算日是在履行合约后的一天到两天。 值得一提的是，虽然大多数的美式期权合同允许持 有者在交易日至履行合约日之内的任意时间履行合约，但也存在少数美式期权合同明确规定一段比较短的时间履行合约，比如说“到期日前一周”。 亚式期权从本质上看就是创新后的欧式期权，它不同于欧式期权，取合约履行日标的资产的价格，而是期权合约期内某段时间标的资产的价格的平均值，同时这段时间被称为平均期，在对期权标的资产进行平均时，采用的方法就是算术平均法或者几何平均法。 由此可见，欧式期权本少利大，但在获利的时间上不具灵活性；相反的，美式期权虽然灵活，但付费十分昂贵。 因此，目前状况是国际上大部分的期权交易都是欧式期权。 除了以上三种常见期权，期权经常性的还会分为看涨期权和看跌期权两种。 所谓看涨期权就是指期权的持有者有权在某一确定时间（或在某一确定有效期内）以某一确定价格来购买标的资产。 所谓看跌期权就是指期权的持有者有权在某一确定时间（或在某一确定有效期内）以某一确定价格来出售标的资产。 期权价值 不管是哪类期权，都会有自身的内在价值存在。 所谓的内在价值，指的就是在期权内部，零和期权立刻执行的时候所具有的价值间的极大值或者极小值，也就是   0,max KS ，在这个式子中， S 代表的就是标的物的市场价格， K 代表的则为期权执行的价格。 而在同时，期权根据其内在价值的大小又分为了实值期权、虚值期权还有两平期权三种。 实值期权，顾名思义，指的就是具有真实价格的期权，也就是说期权的持有人对于期权是立即执行的，由于持有者的立即执行，致使期权价值获利大于零，故将其称为实值期权。 两平期权，也很好理解，与实值 期权概念相似，只不过就是期权的持有人在天津科技大学 2020届本科生毕业论文 10 对于期权立即执行后，致使期权价值获利为零，此时持有者处于一种不赔不赚的状态，故将其称为两平期权。 虚值期权，与实值期权和两平期权一样，同样是期权的持有者在立即执行，其期权执行结果是致使期权价值获利小于零，此时持有者处于一种赔了的状态，不存在期权价值了，故将其称为虚值期权。 总结一下，本文以卖权举例：首先，由于标的物的市场价格低于其执行价格，卖方买进标的物时的价格就会偏低，因而再卖出时价格就是上升，从而获利，正是这种原因导致了实值卖权的出现。 其次，由于买进标的物的市场价等 于卖出时的执行价格，卖方从中未盈利，这便是两平期权。 最后，由于买进标的物时候的市场价格大于卖出时候的执行价格，若卖方履约，则买方处于一种被动状态，不得不履行约定，致使亏损，这种情况便是虚值期权。 值得一提的是，如果真的遇到了虚值期权现象，买方多数会选择放弃履行约定权利，这样做的话损失的部分并不会很多，仅仅限制于期权费用而已。 针对于这三种情况，我们都必须提高警惕，期权市场谁都说不好，也许今天还是实值期权，明天可能就变成了虚值期权了。 为了更方便于大家的参阅，本文将实值期权、两平期权以及虚值期权与买、卖权制成了表 格 22，其中 S 代表标的物的市场价， K 则代表期权最终执行价格。 表 22 实值期权、两平期权以及虚值期权与买、卖权的关系 S 与 K 的关系 买权 卖权 SK 实值 虚值 S=K 两平 两平 SK 虚值 实值 期权价值，实则还有一种时间价值，但鉴于本文研究的是欧式期权，时间价值则是与美式期权紧密相关的，故在此就不多做介绍了。 期权价格的影响因素 假设 S 是股票的初始价格， K 是履行合约的执行价格， T 为期权合约到期的时间， t 表示目前的时间， TS 表示为在 T 时刻的时候，股票的市场价格， r 表示为从 T 时刻到期权到期执行日的无风险利率，利息的话就按照连续的复利方式计算， C 表示购买的一种股票的欧式看涨期权价值， P 表示卖出的一种股票的欧式看跌期权价值，  表示股票价格产生变化的波动率。 标的资产价格 S。 对于欧式看涨期权而言，由于其到期执行价格是固定的，所以说如果期权标的资产市场价格上升的话，那么欧式看涨期权的价格也会天津科技大学 2020届本科生毕业论文 11 跟随着增加。 期权的执行价格 K。 在到期行使期权的时侯，在绝大多数期权交易中，标的资产的价格会很接近于持有者手中持有的期权的执行价格。 执行价格在期权合约里往往都有相当明确的规定，是期权交易所依照特殊的标准以增减的形式给出，这就导致了同一个标的资产确有很多个不同的价格。 一般的，在一种期权交易的开始，交易市场都会按照特定的价格间距，给出几组不同的价格，根据标的资产价格的变动情况适时加价，至于对于每种期权到底有多少种价格，这就取决该项期标的资产交易中的波动情况了。 不过，对于投资者而言，在选择执行价格时只要遵 循一个原则就好了，就是选择最接近标的资产活跃区间价格的期权执行价格。 标的资产价格的波动率 。 标的资产的波动率增加意味着期权的价格也会随之增加，同时波动率的增加也意味着期权持有者也就是买方获利会更多。 距期权执行日的剩余时间。 单就剩余时间这一条而言，剩余的时间越多，期权执行时的价格就越高。 原因就是时间越充裕，标的资产就越会有充裕的时间，有更多的机会向着对期权买家有利的方向变动，最后，随着时间一点点减少，期权执行价格发生变动的概 率也就相应减少了。 相反的，剩余时间越少，离到期日越近，期权价格变动越快。 无风险利率。 无风险利率指的就是投放资金于一项不含任何风险的活动，而取得的利息率。 这是人人都想得到的一种最理想的投资理念。 无风险利率是与期权时间价值成反比的。 当其他期权影响因素固定不变时，若无风险利率增长，则标的资产价格的预期增长率有可能会上升，这就致使期权买方在未来的某一时刻收到的现金流现值很有可能会下降，这样只会使得看跌期权价值相对下降，故而，我们得出结论，无风险利率与看跌期权价值成反比，然而，就看涨期权，我们认为无风险利率是与看涨 期权成正比的。 为了便于读者更好的理解，本文把上述几种期权影响因素制作成表 23，如下： 表 23 各类因素对期权价格的影响 影响因素 看涨期权 看跌期权 标的资产的价格 上升 下降 标的资产的价格波动率 上升 下降 到期执行价格 上升 下降 距到期日的剩余时间 上升 下降 无风险利率 上升 下降 从以上分析不难看出，期权最初的标的资产价格和期权到期的执行价格这两天津科技大学 2020届本科生毕业论文 12 个因素对于决定期权价格是尤为重要的，它们主要决定了某种期权究竟是何种类型的，实值、两平或者是虚值。 并且随着到期时间的缩短，期权价值也 会跟随降低。 利率的变化对于期权价值相对复杂些，不过简单来说就是利率上升，不但会使得期权持有者成本增加，同时也增长了市场方面对资产的价格上的预测，继而直接导致看涨期权价格上调，看跌期权的价格跌落。 期权的交易原理 首先，买方看准市场，买入已事先约定好标的物价格的看涨期权，然后支付少量的权利金，至此便享有了买入期货的权利。 享有该项权利后，一旦价格上调，就要履行上涨期权，购买时是低价购进，卖出时期权价格上涨，就以高价卖出，从中获取差额利润，这样不仅弥补了期初支付的权利金，而且还有盈余。 相对的，如果期权 价格没有上涨而是下跌了，期权持有者就可以选择放弃期权或者以低价转让看涨期权，这样做的话最大不过是损失了权利金而已。 买家之所以会买入看涨期权，主要是因为买家在购买前，分析了有关期货市场上价格的变动，通过分析，买家会认为期货市场上该股上涨空间更大一些，所以，买家选择了持有看涨期权，之后买家支付了一定金额的权利金，一旦市场上的价格如意料中大幅上涨，持有者便低收高卖从中获利。 如果买方对市场价格分析不准确，有两种可能，一种是价格也上涨了，不过 幅度很小，这样也是可以取得一点利润的，至少弥补了权利金的损失，另一种可能就是，市场上的价格下跌了，卖方选择不履行约定，那么期权持有者的损失就是必然的了，不过持有者的最大损失也就是期初支付的权利金的金额。 期权的定价模型 欧式期权定价模型介绍 欧式期权在文章 节中已经介绍过了， 欧式期权指的是在期权合约规定的到期日才可以行使该权利，期权的持有者在合约到期日 之前不能行使该项权利，期权的价格是期权合约中唯一一个随市场供求变化而改变的变量，它的高低直接影响到买卖双方的盈亏状况，是期权交易的 核心问题。 所以，期权定价一直以来都是金融数学应用领域上最为复杂的问题之一。 世界上第一个完整的、直至现在都在应用中的期权定价模型就是问世于 1973 年的，由 Fisher Black 和 Myron Scholes 创立下的 BlackScholes 期权定价模型，以下简称 BS 模型。 当然，随着学术上的不断推广，接下来又相继产生了多种期权定价方法，如最小二项式定价方法、风险中性定价方法以及鞅定价方法等等，但在这些方法中， BS 期权定价模型是期权定价问题的核心和基础。 BS 期权定价模型的建立 BS 期权定价模 型是金融界期权定价的核心、基础理论，现建立 BS 模型，需具备的假设条件如下： 天津科技大学 2020届本科生毕业论文 13 标的证券的价格需要遵循几何布朗运动。