股票收益率的尖峰厚尾分布毕业论文(编辑修改稿)

股票收益率的尖峰厚尾分布毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

收益率进行一阶泰勒公式展开 可以看出，当简单收益率趋近于零时，对数收益率可以认为与简单收益率是近似相等的 [7]。 多期收益率 设股票资产在 t 时刻的 k 期简单收益率为 )(kRt ，可定义为： ktkttt PPPkR  /)()( （ 25） 则可以定义 K 期简单总收益，也叫离散复合收益率为： )1(/)(11121121kiiktttttktktktktktttRPPPPPPPPPPkR （ 26） 其中 iktR 表示的是第 ),...,3,2,1( kii  期的单期简单收益率。 由单期对数收益率定义可推出多期对数收益率 )(krt 为： 天津科技大学 2020 届本科生毕业论文 7      ki iktki ikttt rRkRkr 11 ])1(l n [))(1l n ()( （ 27） 同理， iktr 表示的是第 ),...,3,2,1( kii  期单期对数收益率。 通过分析多期收益率的定义不难发现以下结论： （ 1） 知道单期收益率可以通过计算得出多期收益率。 比如一个月有 30 个交易日，若采用简单收益率计算方法，月总收益率可以通过将 30 天总的收益 率相乘得到；若是采用对数收益率计算方法，则月对数收益率可以通过对这 30 日的对数收益率相加求和得出。 （ 2） 这里所定义的单期收益率和多期收益率都是相对的。 比如在计算年收益率时可以将月收益率作为单期计算，当计算月收益率时可以将日收益率作为单期，所以这里的单期和多期没有固定的匹配，计算时可根据需要选择单期还是多期计算。 可以将多个单期计算得出一个多期，同样一个多期也可以看做是多个单期。 （ 3） 在上述定义的公式（ 26）中用到了复利计算，但是这里计算时利率不是一个固定的值，而是将收益率（ tR ）这一随机变量作为利率计算。 收益率正态检验和尖峰厚尾性 频率直方图检验法 此种检验方法就是基于统计学中的大样本思想，把股票的日收益率当作是一个具有无限性的总体，通过收集分析现有的股票数据作为样本，通过检查样本的分布特性进而分析得出总体的收益率分布特性。 从统计学角度来说，当选自总体的样本数量不断增多时，样本的特性就近似的反映了总体的某些特征，可以从样本中寻找总体的某些规律。 这里如果增多样本容量，计算样本的频率画出频率直方图，那么只要样本容量足够大 就可以近似接近总体概率密度曲线，所以可以通过收集样本数据，作出样本频率分布直方图，并与正态函数曲线进行比较就可以比较直观地检验总体的分布特性是否具有正态性。 在直角坐标系中作股票收益率分布直方图时，横坐标一般为股票收益率，纵坐标是收益率的概率，可以画出收益率各值对应的概率图。 一般来说，画出的直方图应该从整体分析其形状。 如果直方图呈现出左右对称性，且中间高两边低，非常接近于正态分布函数曲线，一般就认为样本所在的总体是服从正态分布的。 但是，如果直方图形状不是对称的或者不是中间高两边低，就认为总体是不服从正态分布 的。 尖峰厚尾的含义 一般从统计学方面定义尖峰特性就是某一随机变量的值出现在均值附近，也就是峰顶附近的概率密度值大于理论上正态分布的估计值而呈现出在均值附近天津科技大学 2020 届本科生毕业论文 8 整体高于正态分布的理论值。 经济学领域里研究股票的尖峰特性通常来说受价格波动的聚集性影响。 这里所谓的波动聚集就是当市场的股票价格因市场信息的影响发生的波动异常剧烈，并且这种波动短时间不会消失而是在一段时间内不断上升或者下降，那么就会导致波动聚集。 假如金融资产价格发生的波动聚集集中在均值左右就会出现所谓的尖峰厚尾特性，一般也称之为肥尾。 肥尾是指 相对于正态分布假设的资产收益率的尾部，实际的股票收益率的尾部比正态拟合的尾部要厚，这也就意味着收益信息的出现不是连续变化形式的，而是以成堆的方式出现。 相对于厚尾分布这一特性，统计学中也定义了薄尾型分布。 薄尾型分布就是指随机变量的概率密度函数在尾部以指数函数的速度收缩至零，假设尾部收敛的速度是幂函数级别的则就是属于厚尾分布的。 一个典型的薄尾分布函数就是正态分布函数，其概率密度在尾部按指数级缩减至零。 厚尾现象产生的原因很多，但主要原因是和自然界中的事物相比，金融序列略有不同。 例如假设人的身高服从正态分布，人的身 高最值之间的差距会保持在平均身高，但是在金融时间序列中随着资产价值的变化，该数值可能会变为010倍甚至更高，这就导致在金融工程领域通常会观察到更厚的尾部和更高的峰部。 在股票市场，价格的波动聚集导致股票收益率呈现厚尾特性，大量信息停滞在尾部，造成尾部的厚度大于传统正态分布假设的理论值。 尖峰检验法 峰度系数法 设有一随机变量 X ，关于 X 的 K 阶中心矩 kXEX ))((  存在数学期望，其中...3,2,1k ，这里用 )(Xk 表示 X 的 K 阶中心矩的数学期望，那么有： . . .3,2,1,))(()(  kXEXEX kk （ 28） 当 k 取 2 和 4 时分别表示随机变量 X 的二阶中心矩和四阶中心矩，由这两个中心矩就可以计算峰度系数。 随机变量 X 的峰度系数定义的是四阶中心矩除以其二阶中心矩的平方。 用 K 表示峰度系数，计算公式为： 24224224 )( ))(()))((( ))((/ XD XEXEXEXE XEXEK   （ 29） 其中 )(XE 为 X 的数学期望 ，也叫均值， )(XD 表示的是 X 的方差。 假设 X 服从正态分布，即 ),(~ 2NX ，则计算其 n 阶中心矩； 天津科技大学 2020 届本科生毕业论文 9 dtetxdexdxexXEXEtnnxnnxnnn22)(2)(2222)()(22)())(( （ 210） 则关于 X 的二阶中心矩和四阶中心矩为： 424442222232222dtetdtettt （ 211） 则可得到服从正态分布的随机变量 X 的峰度系数为： 3)(3/ 22 4224  K （ 212） 一般来说，为了方便比较是否具有尖峰性，又将正态分布的峰度系数减去 3置零，即令 3)( ))(( 2 4  XD XEXEK。 这样就可以比较方便的判定某一随机变量的分布是否具有尖峰态，因为当计算随机变量的峰度系数 0K 表示该随机变量的分布与正态分布一样，在均值附近没有出现尖峰。 如果 0K ，表明该随机变量的分布肯定不是严格的正态分布，因为在均值附近出现高于正态分布估计的理论值，其峰度高于正态分布 [8]。 以上计算峰度的公式都是基于理论数学函数的，在实际生活中不可能用理论性的结果去估量实际股票收益率，这就需要借助于统计学中的参数估计理论。 一般都是从整体中抽取大量样本，通过计算样本的均值和方差等数学参数去近似代表整体的这些特性值。 在统计学中，用大量离散的样本值计算二阶中心矩和四阶中心矩，计算公式为： 414212)(1)(1niiniixxnxxn （ 213） 则可以计算样本的峰度系数 K ： 天津科技大学 2020 届本科生毕业论文 10 3))(()(12214niiniixxxxnK （ 214） 式中 x 表示的是样本均值。 JB 检验法 JB 统计量通常是由偏度系数和峰度系数计算而来的，所谓偏度系数就是来度量某一分布函数的对称性，用 S 来表示。 偏度 S 的值有正有负， S 等于零的时候认为分布函数是左右严格对称的，若 S 大于零则认为该分布函数是向右偏斜的，若 S 小于零则认为该分布函数是向左偏斜的。 所以这里 S 的值不仅表示偏斜的程度，也表示偏斜的方向。 计算 JB 统 计量： 6 ]4/[ 22 KSnJB  （ 215） 其中， K 为峰度系数，上一小节已经介绍了其计算方法， S 为偏度，计算公式为： 2/31213))(()( niiniiRRRRnS （ 216） 在上述公式中， iR 表示的是某一金融资产收益序列的收益率， R 表示的是这一序列收益率的均值。 JB 统计量是由 Jarque 和 Bera 提出的检验法，同时他们在定义了 JB 统计量计算公式的基础上也理 论推导出 JB 统计量服从的是 2 分布，并结合数据计算出自由度为 2，即 JB 统计量满足： )2(~ 2JB ，其中  表示的是给定的显 著性水平 [9]。 通过计算 JB 统计量的值，可以分析某一随机变量的分布是否具有尖峰性，判别准则为： （ 1） )2(2JB ，则认为该分布是正态分布； （ 2） )2(2JB ，则认为该分布不是正态分布； 天津科技大学 2020 届本科生毕业论文 11 厚尾检验法 正态图法 图 用于直观验证一组数据是否来自某个分布，或者验证某两组数据是否来自同一（族）分布。 在教学和软件中常用的是检验数据是否来自于正态分布。 该方法是分别计算数据的分位数，然后在对正态分布的分位数描点，如果通过实际记录数据画出的图是近似一条直线的，那么就认为这个随机变量服从的是正态分布 [10]。 要利用 图鉴别样本数据是否近似于 正态分布 ， 只需看 图上的点是否近似地在一条直线附近 ， 而且该 直线的斜率 为 标准差 ， 截距 为均值 ， 用 图还可获得样本 偏度 和 峰度 的粗略信息。 对于正态概率图，有一些常见的变形图形： （ 1）短尾分布：如果尾部比正常的短，则点所形成的图形左边朝直线上方弯曲，右边朝直线下方弯曲 —— 如果倾斜向右看，图形呈 S 型。 表明数据比标准正态分布时 候更加集中靠近均值。 （ 2）长尾分布：如果尾部比正常的长，则点所形成的图形左边朝直线下方弯曲，右边朝直线上方弯曲 —— 如果倾斜向右看，图形呈倒 S 型。 表明数据比标准正态分布时候有更多偏离的数据。 一个双峰分布也可能是这个形状。 （ 3）右偏态分布：右偏态分布左边尾部短，右边尾部长。 因此，点所形成的图形与直线相比向上弯曲，或者说呈 U 型。 把正态分布左边截去，也会是这种形状。 （ 4）左偏态分布：左偏态分布左边尾部长，右边尾部短。 因此，点所形成的图形与直线相比向下弯曲。 把正态分布右边截去，也 会是这种形状。 图 21 短尾分布和长尾分布 天津科技大学 2020 届本科生毕业论文 12 图 22 右偏分布和左偏分布 尽管作直方图能马上知道数据的分布，但它却不是判断这些数据是否来自同一特定分布的好办法。 人眼不能很好地判别曲线，其他的分布也可能形成相似的形状。 并且，用服从正态分布的少量数据集作成的直方图可能看起来不是正态的。 因此，正态概率图是判断数据分布的较好方法。 尾极值指数法 首先介绍一下尾极值的定义，在金融分析领域里尾极值指数又可以分为上尾极值指数和下尾极值指数。 所谓上尾极值指数对应的是上尾分布具有厚尾性，设存在一随机变量，用 X 表示，其分布函数为 )(XF ，且其分布函数满足tt xtF txF 1)(1 )(1lim   ，其中 0,0  xr ，则称变量 X 符合上尾“厚尾”型分布，其中 r 即为上尾极值指数。 同样的也有下尾极值指数计算公式。 用尾极值指数法计算标准正态分布可以得出，当限定 1x 时计算得出尾极值指数 0r。 所以一般都认为，标准正态分布的尾分布为薄尾特性，在此基础上，如果计算某一随机变量分布的 尾极值指数 0r ，则可认为该分布服从正态分布，如果计算得出尾极值指数 0r ，则表示该分布不是正态分布而是属于厚尾型分布的。 在分析股票收益率时用尾极值指数法检验股票收益率是薄尾型分布还是厚尾型分布非常简。