矩阵的特征值与特征向量毕业论文(编辑修改稿)

矩阵的特征值与特征向量毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

   )1)(2(00)1)(2(10201)1)(2(104830201)3(rrrrr)1(rr4r23321312 由定理 1，令 0)1)(2( 2  ， 得矩阵 A 的特征值为 1,2 321 。 当 2 时， (A－ λE)已是标准上三角形矩阵，由 定理 2 得 000010001)2(B 得特征向量  T1001  , 当 1 时，000210101)1(B ， 同理，特征向量为  T1212  矩阵的特征值与特征向量 邵阳学院毕业设计（论文） 6 初等变换法 定理 3 齐次线性方程组 0 XA nm 的系数矩阵 A 的秩数 nr ，非奇异矩阵 nnQ 的后 nr 列便构成线性方程组的一个基础解系。 证明： )0,P(00 0E)P,P(00 0EPAQ00 0EP A Q 1r21r1r    00 0EP AQ r 又 ),(),( 2121 AQAQAAQ  )0,(),( 121 PAQAQ 。 从而 02AQ 即 Q 的后 rn 列，即 2Q 的诸列为方程组 0AX 的列向量。 因为 Q 为非奇异矩阵，所以 2Q 的 rn 列线性 无关，故它们构成方程组 0AX 的一个基础解系。 如何求矩阵 Q ，从而得到 2Q ，从上面的证明过程可以看出，需要进行如下计算： 因矩阵 A 的秩为 r ， A 有 r 列线性无关向量组，于是矩阵 )E,A( n 经一系列的初等变换成为   21rm 0P ，其中秩 rP ,由此便得到 2Q。 例 3 已知110111110A ,求矩阵 A 的特征根与特征向量。 解：   EAE= 11101010011210011101000011211011000100011101111122 矩阵的特征值与特征向量 邵阳学院毕业设计（论文） 7     QG11111021011011001222 由 知 0)1( 2  ， A 的特征根 1,0 321  。 当 0 时，   1111102100010100100QG ， 特征向量1121。 当 1 时，   12101011001001100111QG ， 特征向量1012。 2 对称矩阵的特征值与特征向量 实对称矩阵的性质、定理及对角化 定义 1 如果有 n阶矩阵 A，其各个元素都为实数，且 jiij AA （转置为其本身），则称 A为实对称矩阵。 定理 1 实对称矩阵的特征值恒为实数 ， 从而它的特征向量都可取为实向量。 定理 2 实对称矩阵的不同特征值的特征向量是正交的。 证明 设 21, 是实对称矩阵 A 的两个不同的特征值，即 2121 ,  是分别属于21, 的特征向量，则 222111 ,   AA ， 根据内积的性质有 ),(),(),( 21121121  A 矩阵的特征值与特征向量 邵阳学院毕业设计（论文） 8 又 ),( AA)A(),A( 21222T1 2T12TT12T121 所以 ,0),)(( 2121   因 21  ， 故 0),( 21  ， 即 1 与 2 正交。 定理 3 设 A 为 n 阶对称矩阵，  是 A 的特征方程的 r 重根，则矩阵  的 秩从 rn)(  r ,从 而  对应特征值恰有 r 个线性无关的特征向量。 定理 4 设 A 为 n 阶对称矩阵，则必有正交矩阵 P ，使 BAPP 1 ，其中 B 是 以 A 的 n 个特征值为对角元素的对角矩阵。 例 1 设 310130004A ，求一个正交矩阵 P ，使 BAPP 1  为对角矩阵 . 解： 2)4)(2(310130004EA  所以 A 的特征值 ,4,2 321   对于 21 ，解齐次线性方程组 0X)E2A(  ，得基础解系 1101 ,因此属于 21 的标准特征向量为212101 对于 432  ，解齐次线性方程组 0X)E4A(  ，得基础解系 .21210,00132 这两个向量恰好正交，将其单位化即得两个属于 4 的标准正交向量 , 矩阵的特征值与特征向量 邵阳学院毕业设计（论文） 9 于是得正交矩阵 2102121021010P 易验证 4421APP。