浅谈函数极值的求法及应用毕业论文(编辑修改稿)

浅谈函数极值的求法及应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

羊的数目以最大化自己的利润。 如果购买一只羊的价值为 c ，则第 i 个牧民将得到的利润就为 cxxVxcxXVxxxxP ini iiiini   )()(),...,( 121 ， ni ,...,2,1。 O maxX X 图 2 V 6 于是 为了取得最大利润，羊的数量就要 满足以下一阶最优化条件 （ *） 0)()(  cXVxXVxP iii， ni ,...,2,1。 即使 得每个牧民获 得最大利润的羊的 数目（最优饲养量） ix （ ni ,...,2,1 ）必是 此 方程组的解， 我们称 为最优解。 这个方程说明了， 每增 加一只羊就会产生 正负两 种效应，正 效应是这只羊本身的价值 )(XV 的增加，负效应是这只羊的增加使之前已有 羊的价值减少（因为 0)(  XVxi ）。 从一阶最优化条件 我们还能得到 ，第 i 个牧民 的最优饲养量 ix 是受其他牧民的饲养数目影响的，因此 我们 可以认为这样的 ix 是 ),...,2,1( ijnjx j  的函数，即 ),...,...,( 111 niiii xxxxxx  ，我们称其 为反应函数。 在一阶最优化条件中对 )( ijxj  求导得 0)1)(()()1)((  jiijiji xxXVxxxXVxxXV。 所以 0)()( )()(2   XVxXV XVxXVxx i iji。 这 就表明 第 i 个牧民的最优饲养量 ix 是随 着 其他牧民饲养的数目的增加而 逐渐 减少 的。 解方程组（ *）就 可以得到每一个牧民的最优 饲养量 *ix ， ni ,...,2,1。 因为 以上的计算 中我们考虑的 都是关于 ix 的 ， 所以， 得到的 *ix 是 指一下情况下的最优饲养量 ，即每个牧民在增加饲养量时考虑的只是对自己的羊的 价值的 影响，而不是对 牧场上 所有羊的 价值的 影响。 因此这样 得出的所以牧民最优 饲养量的总和 ni ixX 1** 并不一定是整个牧场 总的最优 饲养量。 而实际中，整个牧场 的最大利润 应该 是函数 XcXXV )( 的最大 值。 它的一阶最优化条件为 0)()(  cXVXXV。 7 设 *X 是使 整个牧场获 得 最大利润 的羊的总量，也就是 整个牧场的最优饲养量。 那么 ， 0)()( ******  cXVXXV。 将（ *）中的 n 个式子相加 得 0)()( ***  cXVnXXV。 通过将以上两式 相比较，利用 )(XV 和 )(XV 的单调减少性质就 能 得到 *** XX  ，即个人最优饲养量的总和 比 整个牧场的最优饲养量 要大。 这表明 没有管理的 时候 共有草地有可能 会 被过度使用 ，从而无法取得最大利润。 这就是 得不到 管理的公共资源的悲剧（ Tragedy of Commons）。 海洋 中 鱼类的过度捕捞，森林的乱砍滥伐，大气污染等 的资源 问题，都是“牧童”经济学的案例。 （二）多元函数条件极值 条件极值问题是 指 在条件组 0),...,( 21 nk xxx ， )(,...,2,1 nmmk  的限制下，求目标函数 ),...,( 21 nxxxfy  的极值。 在求解的过程中，最传统的方法是消元法，然而， 利用 Lagrange 数乘法就可以不直接依赖消元而求解条件极值问题。 数乘法 我们 以二元函数为例 来说，想要求 函数 ),( yxfz 的极值，其中 ),( yx 受 约束 条件 0),(: yxC  ○ 1 的限制。 如果 把条件 C 看 成是 ),( yx 所 在的曲线方程， 设 曲线 C 上的点 ),( 000 yxP 为 函数 f 在条件下 ○ 1 的极值点， 并 且在点 0P 的某邻域内方程 ○ 1 能唯一 地 确定 一个 可微的隐函数)(xgy ，则 0xx 也 必定是 )())(,( xhxgxfz  的极值点。 所以 由 f 在 点 0P 可微， g在 点 0x 可微， 我们就 得到 8 0)(),(),()( 000000  xgyxfyxfxh yx。 ○ 2 又 当  满足隐函数定理 的 条件时 ),( ),()( 00 000 yx yxxg yx。 ○ 3 把 ○ 3 代入 ○ 2 后又 可以 得到 0)()()()( 0000  PPfPPf xyyx 。 ○ 4 从而存在某一常数 0 ，使得在 点 0P 处满足 0)(0)()(0)()(0000000PPPfPPfxxxx 如果 我们 引入辅助变量  以及 辅助函数 ),(),(),( yxyxfyxL   ， ○ 6 则 ○ 5 中三式就 成为 0)(),(0)()(),(0)()(),(000000000000000PyxLPPfyxLPPfyxLyyyxxx ○ 7 这样 我们 就把 一个 条件极值问题转化 成了讨 论函数 ○ 6 的无条件极值问题。 这种方法 就是 Lagrange 数乘法。 我们将 ○ 6 中的函数 L 称作 Lagrange 函数，辅助变量  称作 Lagrange乘数。 数乘法的步骤 由二阶函数的 Lagrange 数乘法我们总结出多元函数 Lagrange 数乘法的步骤如下： （ 1）确定目标函数和条件组； 9 （ 2）作 Lagrange 函数 mk nkmn xxxfxxxL 1 21121 ),...,(1(),...,...,( ，其中 k。