浅腔节流器在高速透平膨胀机上的应用设计(编辑修改稿)

浅腔节流器在高速透平膨胀机上的应用设计(编辑修改稿)内容摘要：

z （zph .3） =6u xh 其中： u 为轴承对轴的相对速度。 （只有 u1 和 u2 方向 一致时，才能形成油楔） 在本次设计中， u1 =0， u2 =u 今天，大多数研究者都用数值法求解二维雷诺方程，对于常用的轴承形式，一般用差分法就可以在较少的时间求解准确的结果，只有当轴承形式复杂，才更宜于有限差分法。 本次设计，就是采用五点差分法来求解压力分布，其优点是：简单易学，精度较高。 差分法 本次设计采用的方法是五点差分法，基本思想： 将轴承油膜周向展开，将其划分为若干网格。 在周向和径向的各交点即节点处 构成各阶差商，近似取代节点上的压力，所得的一维离散的压力，也就可以近似表达了油膜中的压力分布，根据所得节点的压力值，再用一定的数值积分方法，就可近似的得到轴承的承载能力。 差分法的基本原理 差分法就是近似的用差商来代替微商，近而使连续性区域上的微分方程化为离散点的差分方程。 1）一阶差商 设有一连续函数 y=y(x) 是定义在某一区域的函数，将其定义域等分（也可以用变步长的方法对定义域进行划分）任意一点的坐标为（ xi ,yi ）该点处的导数定义为： xy = 0limx xy 其中：  y=y 1i yi  x=x 1i xi 即：  x  0 时， xy 的极限值，一般在处理实际问题时，只需划分的等份够多，那么  x即为足够小，就可以近似的以 xy 来代替  x  0 时的极限 ，用这种思路来处理这一题，会存在一定的误差，但在实际问题中，用这种方法可以得到较为接近的结果。 前 差商： xy i =0limx xy i=iiii xx yy 11 后差商： xy i =0limx xy i=11iiii xx yy 中差商： xy i = iiii xx yy 据泰勒展开式，进行比较分析可以知道中差商的精度比较高。 2）二阶差商 图 由图 中可以得， 二阶差商源于一阶差商的推导，先用相临半步长插入 a 点上的一阶导数中差商表示即： 22xy i = x xyxyii  )()( 然后，将上式中的 xy 用相临的节点值的中差商表示： xy i = xyy ii 1 xy i = xyy ii  1 将上面两式代入得： 22xy i =2 11 )( 2x yyy iii    为了用差分法求解雷诺方程，需要将有量纲的雷诺方程转化为无量纲的雷诺方程。 无量纲雷诺方程的推导 在进行计算机辅助设计时，必须考虑的一个问题时：中间的一些变量的值是否可 能浮点溢出，另一个问题是计算结果与实际结果的偏差是否在正常的情况下所允许的范围之内，用无量纲形式进行计算，可以很方便地解决上述的两个问题，同时，还可以将问题的简化为最直接的形式，实出有关因素，便于分析计算所得到的 结果，而且可以直接以无量纲的形式推广到相似的轴承问题中去。 1. 坐标  和 z 的无量纲表示：   2//. lZrx  2. 偏心率  =e/h 3. 油膜厚度 H=h/ 0h =1+ . cos 4. 压力 p =p/p0 其中 p0 =2 u/ 2 0 = 0h /(D/2) 5. 沿周向的线长度向网格的弧度为步长，其无量纲形式为 Sx 表示为：   =Sx=2 /m m周向划分的网格数 6. 其余还有 Z/D, 0h /R 等无量纲形式。 将二维雷诺方程简化为无量纲形式： （pH3） +（ 2)LD  （ pH3 ） =3H 为了消去右边的有量纲参数  3H的形式两边同除以 p0 =2 u/ 2 ，以此作为压力 p 的无量纲系数。 雷诺方程可以用来求解各种结构轴承的压力场对于无限宽轴承，宽度 Z 远大于直径 D，也以近似的为油膜的无轴向流动。 压力场轴向均布，于是简化为： x （xph .3） =6U x （  h） 但实际使用中，都是有些轴承可以视为短轴承来求解，即宽度 Z 远小于直径 D,可近似以为轴的轴心线与轴承的轴心线平行，故 h 不随 Z 而变动。 雷诺方程的差分法 图 雷诺方程的差分法配图 如图 所示，将内表面和轴向划分为网格，沿周向的网格节点以 j 记，并沿轴向的网格节点以 I 记，即网格节点用一相应的二维序列求编号： 假定周向划分为 m格，轴向划分为 n 格，则 有： j=1~m+1 i=1~n+1 因此，沿周向的无量纲步长： =2 /m 沿轴向的无量纲步长：   =1/（ n/2） 节点压力的一阶差商可以表示为： （p ） i j = 2 1,1, jiji PP （p ） i j =  2 ,1,1 jiji PP 用半步长来表示形成中差商，则得： （p） i j =  , jiji PP （p ） i j =  , jiji PP （ 1） 按整体差分的形式来推导 将雷诺方程中的pH3， pH3 视为一个整体，利用上面的差分公式，可以推出： [（pH3） ] i j =[ 3H i j + i 1j + 3H ij 1j （ 3H i j + 3H i j ） Pi j ]/(  )2 [  ( pH3 )]i j =[ 3H i j P 1i j + 3H i j P 1i j （ 3H i j + 3H i j ） Pi j ]/(  )2 (H)i j =(HijHij)/(  ) 将上边三式代入雷诺方程中，整理成如下的形式： Ai j P i1j+Bi j P i1j+Ci j P 1i j +Di j P 1i j Ei j Pi j =Fi j 其中 ： Ai j = 3H ij Bi j = 3H ij Ci j =(D/2)(   /  ) 3H i j ( ) Di j =(D/2)(   /  ) 3H i j Ei j = Ai j + Bi j + Ci j + Di j Fi j =3  (HijHij) 系数组 ( )的适用条件是显然的，因为用差商代替微商的前提条件是：函数的微商存在，那么函数首先必须连续，在深腔和浅腔，浅腔和封油边交界的地方，油膜均有突变，那么压力也存在突变。 故函数已不连续，因此 ( )组系数只用于所有的内节点，以及封油边面的非边界点。 （ 2） 以微分与差分相结合的形式推导。 虽然当  p 与   是足够小时，用差分代替微分的误差已很小，可以忽略不记，然而毕竟存在，因此以下推导差分形式的推导思想是：能够依靠数据模型成函数关系精确求导的部分，则用精确的偏微分表示，因此在雷诺方程中： （ 3H ）P+ 3Hp P=p（ 3HP） 其中： H=H cos (  ) H= sin(  ) 整理得： [（pH3） ] i j =3  3H i j 2 1,1, jiji PP sin(  )+ 3H i j (Pi1j2 Pi j + Pi1j)/(  )2 由于 H 沿轴向不考虑挠度的影响，故可视为： H 沿轴向没有变化（台阶处除外），因此： H =0 [  ( pH3 )]i j = 3H i j (Pi1j2 Pi j + Pi1j)/(  ) 将上面两式代入雷诺方程可得到： H= sin(  ) 雷诺方程的系数分别为： Ai j = 3H i j   2H i j  sin(  ) Bi j = 3H i j   H i j  sin(  ) Ci j =(D/ Z)(   /  ) 3H i j （  ） Di j =(D/ Z)(   /  ) 3H i j Ei j = Ai j + Bi j + Ci j + Di j Fi j =3 sin(  ) 其适用条件为：除了油膜厚度有突变的点以外的点。 （ 3） 油膜阶梯变化处的差分方程 这些地方，油膜厚度以及压力的导数不能用差分法来直接代替导数，以下推导的基本方法是：用有限控制空间的流量平衡关系来得到，由于该控制空间为无源场，故流入的流量与流出的流量相平衡。 分成五种情况分别推导各种情况下的系数表达式，因为编程较为繁琐，故采用一种通用的表达式包括这几种不同的情况，来简化编程。 首先以 [I, j]点为中心，面积为  x，  Z 的有限控制空 间作为研究对象，将边界分为 a, b, c, d, e, f, g, h 等长 8 小段。 图 油膜阶梯变化处的差分方程配图 由于 : Qa+Qb+Qc+Qd+Qe+Qf+Qg+Qh =0 又： Qa= 2Z [ 2vha +123ah xPP jiji  ,1,] Qb= 2Z [ 2vhb +123bh xPP jiji  ,1,] Qc= 2X [123zh zPP jiji  ,1] Qd= 2X [123dh zPP jiji  ,1] Qe= 2Z [ 2vhe +123eh xPP jiji  ,1,] Qf= 2Z [ 2vhf +123fh xPP jiji  ,1,] Qg= 2X [123gh zPP jiji  ,1] Qh= 2X [123hh zPP jiji  ,1] 代入整理得： ( 3H a+ 3H b )Pi1j+( 3H e+ 3H f) Pi1j+( 3H z+ 3H d) P 1i j +( 3H g+ 3H h) P 1i j =3  (he + hf –ha – hb) 可得到： Ai j Pi1j+Bi j +Ci j P 1i j Di j P 1i j Ei j Pi j =Fi j 其中： Ai j =( 3H a+ 3H b ) Bi j =( 3H e+ 3H f) Ci j =(D/Z)2 ( 3H g+ 3H h) Di j =[(D/Z)(   /  )]2 ( 3H z+ 3H d) Ei j = Ai j + Bi j + Ci j + Di j Fi j =  ( he + hf –ha – hb) 经分析可以得到： Ha=H 0ij=H 1ij Hb=H 0ij=H 1ij Hc=H i 0j = H 1ij Hd= H i 0j = H 1ij He= H 0ij=H 1ij Hf= H 0ij=H 1ij Hg= H i 0j = H 1ij Hh= H i 0j = H 1ij 令： H1=H 1ij=(H 1i1j+ H 1i j ) H2= H 1ij=(H 1i1j+ H 1i j ) H3= H 1ij=(H 1i1j+ H 1i j ) H4= H 1ij=(H 1i1j+ H 1i j ) 则阶梯处油膜雷诺方程的系数表示如下： Ai j =( 3H 1+ 3H 2 ) Bi j =( 3H 3+ 3H 4) Ci j。