浅析判别式在解题中的应用毕业论文(编辑修改稿)

浅析判别式在解题中的应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

则 0)4(5)22( 222  Tyyyy , 整理得 ，16888165 22  yyT 当且仅当 42y 时 ,得 ，516min T 即 ),( yxF 的最小值是516. 在二次曲线中的应用 (1) 二次曲线之间的位置关系 . 李永根老师在文 [11]中介绍了二次曲线的定义和性质 . 二次曲线 在平面上 ,由二元二次方程 0222 33231322212211  ayaxayaxyaxa (其中 221211 , aaa 不全为零 ) 所表示的曲线 ,叫做二次曲线 . 例 10 已知抛物线与椭圆的方程分别为 mmxy 522  , 1243 22  yx . 当 m 为何实数时 ,抛物线与圆相切 ,相交 ,相离 . 解 联立抛物线方程和椭圆方程 ,整理得 0)35(483 2  mmxx , 其判别式为 )35(4864 2  mm , 当 0 时 ,抛物线与椭圆相切 ,即 济南大学毕业论文 8 43m 或 3m ； 当 0 时 ,抛物线与椭圆相交 ,即 3m 或 43m ； 当 0 时 ,抛物线与椭圆相离 ,即 343 m . (2) 求二次曲线方程 . 例 11 已知经过圆锥曲线 0322  yxyx 和 02  yxyx 的交点与直线 xy 2 相切 ,求此曲线方程 . 解 构造函数 ，)()3( 222 yxyxyxyxF   将 xy 2 代入上式得 ，xxF )12()33( 2   由题意得 0F 时必有相等的根 ,所以 ，0)12( 2   即 21. 将21代 入构造函数使其等于零即为所求圆锥曲线 , 所以所求圆锥曲线为 0362 22  yxyxyx . 在二次不等式的应用 研究二次不等式在文 [12]介绍了讨论二次函数 )0(2  acbxaxy 0y 或 0y的自变量 x 的取值范围 ,其本质当于回归到二次函数中研究 . (1) 不等式的证明 . 例 12 已知： x ,y ,z 是实数 ,且满足等式 0782  xyzx , 06622  xyzzy , 济南大学毕业论文 9 求证： 91 x . 证 由题意得 782  xxyz , 662  xyzzy ）（ ， 上式整理得 ，（ 222)1( 6678) x xxxzy 即为 ，2)1(  xzy 因为 ,t 和 z 是方程 0)78()1( 22  xxtxt  的两个根 ,由于 t 是实数，所以 ，0)78(4)1( 22  xxx 解得 91 x . (2) 不等式的有关极值 . 例 13 已知 1x 和 2x 是方程 0)53()2( 22  kkxkx (k 为实数 )的两个实根 ,求证2221 xx  的最大值为 19. 解 由韦达定理得 ，19)5( 22221  kxx 由此得到 5k 时 ,最大值为 19. (3) 三角不等式的证明 . 例 14 已知： 10  ,求证 )c os ( a r c s in)a r c s in( c os   . 证 因为 10  ,所以 ，02)]2(a r c s in[ s in)a r c s in( c os 济南大学毕业论文 10 又因为 ，01)( a r c s ins in1)c os ( a r c s in22 下面证明 ，212   为此构造一个关于  的二次函数 ，4 42)1()2()(22222f 这是一个关于  的二次 函数 ,由于二次项系数 大于零 , ，084424222 所以对所有  ,恒有 0)( f ,即 ，（ 222 )1()2   再由 ，01,02 2   得 ，212   即 )c os ( a r c s in)a r c s in( c os   . 陈英飞在文 [13]中介绍了不等式通过构造函数 ,应用函数性质来解决不等式证明 . (4) 柯西 施瓦茨不等式 . 柯西 施瓦茨不等式定理 若 naaa ,..., 21 和 nbbb ,..., 21 是任意实数 ,则有 )( 1 21 221    nk knk knk kk baba ）（）（ ， 此外 ,如果某个 0ia ,则上式中的等号当且仅当存在一个实数 x 使得对于每一个 济南大学毕业论文 11 nk ,2,1  都有 0 kk bxa 成立 . 分析 在数学分析中有 柯西 施瓦茨不等式 的证明 [14],其实也可以用判别式的方法证明 . 证 当 naaa ,..., 21 全为零时 ,命题显然成立 . 当 naaa ,..., 21 不全为零时 ,令 ，  ni ii bxay 1 2)( 即 ，   ni ini iini i bxbaxay 1 211 22 )2()( 这是关于 x 的一元二次函数 . 由于 012 ni ia, 0y 恒成立 , 所以判别式 0 ,即 ，0)(4)2( 1 21 221    ni ini ini ii baba 化简得 ，）（）（ )( 1 21 221    ni ini ini ii baba 等号 是 存在 x 使得 0 ii bxa ),2,1( ni  时成立 . 例 15 已知实数 a ,b ,c ,d ,e ,满足等式 8 edcba , ，1622222  edcba 求证 5160 e. 分析 这题用一般的证法比较困难 ,但是利用了柯西 施瓦茨不等式来证明较为方便 . 证 由于 22 1111 ）（）（  dcbadcba )1111( 22222222  ）（ dcba ）（ 22224 dcba  , 济南大学毕业论文 12 因为 edcba  8, 22222 16 edcba  , 所以 )16(48 22 ee  ）（ . 解得 .5160 e 可以看出 ,一元二次方程判别式用途广泛 ,若能在解题时准确的应用 ,会给人简单明快的感觉 ,在解题过要注意使用条件和本质 ,有时应分情况讨论，要避免误用、漏用 .通过对判别式的性质和特点 ,有效地构造一个一元二次方程或二次函数 ,使得问题简单化 ,体现了数学知识的交叉与迁移 . 济南大学毕业论文 13 3 一元三次方程判别式的应用 一元三次方程判别式的定理 文 [14]中介绍了可以把一个标准的一元三次方程化为下面式子 , ),(,03 Rqpqpxx  其判别式记为 ，）（ 32 )3(2 pqD  (1) 当 0D ,方程有一个实数根和一对共轭虚数根； (2) 当 0D ,方程有三个实数根，且其中两个相等； (3) 当 0D ,方程有三个不相等的实数根 . 首先，我们都知道方程 013 x 的三个根可以写为 ,2 311 121 ixx  ， .2 3123 ix   关于 1的立方根的一些性质 : )1( ,212   ；221,   )2( ；01 21   )3( ；121  )4( .13231  我们研究三次方程 ),(02。