欧式期权定价理论及其数值计算方法毕业论文(编辑修改稿)

欧式期权定价理论及其数值计算方法毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

ox)、罗斯 (Ross)和鲁宾斯坦 (Rubinstein)提出的一种期权定价模型，主要用于计算美式期权的价值。 其优点在于比较直观简单，不需要太多数学知识就可以加以应用。 二项期权定价模型假设股价波动只有向上和向下两个方向，且假设在整个考察期内，股价每次向上 (或向下 )波动的概率和幅度不变。 模型将考察的存续期分为若干阶段，根据股价的历史波动率模拟出该股在整个存续期内所有可能的发展路径，并对每 7 一路径上的每一节点计算权证行权收益和用贴现法计算出的权证价格。 欧式期权定价模型 二叉树模型的假 设条件 [5] (1).股票市场是有效的； (2).存在着股票的卖空机制，但不存在套利机会； (3).股票和期权合约的买卖不设计交易成本、也不考虑税收； (4).市场参与者可按已知的无风险利率无限制地借入借出资金； (5).无风险利率为常数； (6).金融市场上的投资者都是风险中立者； (7).假设基础资产的价格在离散的或不连续的时间内服从一个倍增的二项式过程。 一期模型的欧式看涨期权定价 为简单起见，假设不存在交易费用 、税收等成 本，还假设资本市场上存在一种无风险证券 (债权 )，人们可以用无风险利率 0fr 不受限制地借或贷。 因为股票的价格下一期的股价只有两种可能的状态：上升或下降，而且 S 可能上升到 uS 的概率为  ，下降到 dS的 概率 为 (1 )。 其中 10fu r d   。 所以 S 的运动如图 1 所示： 图 1 股票价格 S 的一期运动 一个执行价格为 X 的欧式看涨期权在 1t 时，以  的概率取 m ax ( , 0 )uC uS X，1 的概率取 m a x ( , 0 )dC dS X。 C 记这个期权在 0t 的价格。 命题 ：股票价格运动一期的情况下 ,期权在 0t 的价格为  1 (1 )1 udfC qC q Cr   证明：构造一个在 0t 的总投资为 ()S mC 的投资组合，在期权到日 1t ，它以概率  取值 uuS mC ，以概率 (1 ) 取值 ddS mC。 8 选择 m 使得这个投资组合在 1t 的两种状态下取值相等 ，即 uduS m C dS m C   由此解出 () 为了不存在套利机会，这个投资组合的期初投资 ()S mC 在 1t 时的价值必须等于 (1 )( )fr S mC 即 (1 ) ( )f u dr S m C u S m C d S m C      由此解 (1 )(1 )fufS r u mCCmr   () 式 ()可改写为    1111 ffudfr d u rC C Cr u d u d                  () 如记：  1 frdq ud   11 furq ud  () 则式 ()可记为  1 (1 )1 udfC qC q Cr   () 由 命题 中的式 ()知道： 01q及 (1 ) 1qq   ，从而可把 ( ,1 )qq 看做一个概率分布，称它为风险中性 (Risk Neutral)概率或对冲概率 (Hedging Probablity)，从而式 ()可改写为  11 E1 fCCr  其中 E 是指按风险中性概率 ( ,1 )qq ，而不是按实际概率 ( ,1 ) 计算的数学期望。 从形式上看， 1C 以 “概率 ”q 取 uC ，以 “概率 ” (1 )q 取 dC。 这里概率打引号意指 q 和(1 )q 不是实际概率，是一个人为的概率。 一个风险中性的投资者对在任何股票上投资要 9 求的期望回报率都为无风险利率 fr ，所以在这种情况下风险中性投资者认为 q 就是股票从 S 上升到 uS 的概率 。 这就是为什么把 q 称为风险中性概率的原因。 这个证明过程对欧式看跌期权也成立。 因此当股价运动模式如图 1 所示，欧式看跌期权在 0t 时的价值    111(1 ) EudffP q P q P Prr    () 式中： m ax( , 0)uP X uS； m ax ( , 0 )dP X dS； q 由式 ()给出。 二期模型的欧式看涨期权 定价 接下来考虑的是二期问题，在时刻 1t 时，股价 S 以概率  上升到 uS ，以概率 1 下降到 dS。 在时刻 2t ，又在 1t 的基础上分别以概率  和 1 上升和下降。 二期股价运动的二项式模式如图 2 所示。 图 1 股票价格 S 的二期运动 命题 ：股票价格运动二期的情况下 ,期权在 0t 的价格为   2221 2 ( 1 ) ( 1 )1 u u u d d dfC q C q q C q Cr     。 证明：假设每一期的无风险利率都是 fr。 在得知二期期权价格 uuC 、 udC 和 ddC ，利用一期的评价公式来求出 uC 和 dC ，则有：  1 (1 )1u u u u dfC q C q Cr   () 10  1 (1 )1d u d d dfC q C q Cr   () 其中 q 和 (1 )q 是式 ()的风险中性概率。 再用一次一期的评价公式，就推得在 0t 时期权的价值  1 (1 )1 udfC qC q Cr   . 把式 () ()代入上式，得   2221 2 ( 1 ) ( 1 )1 u u u d d dfC q C q q C q Cr      () 注意： 命题 的证明过程中的式 () 右边方括号内的系数正好满足 2222 (1 ) (1 ) (1 ) 1q q q q q q       ,故如果把 2q ， 2 (1 )qq 和 2(1 )q 分别看成 2C 取值在 uuC ， udC 和 ddC 的概率，则式 ()也可以改写成为    221 E1 fCCr  其中数学期望 E 是按风险中性概率分布 [ 2q ， 2 (1 )qq ， 2(1 )q ]计算的。 和一期模型一样，此推导过程对二期欧式看跌期权定价也同样合适，欧式看跌期权在 0t 时的价值   2221 2 ( 1 ) ( 1 )1 u u u d d dfP q P q q P q Pr      () 式中： 2m a x ( , 0 )uuP X u S； m a x ( , 0 )udP X udS； 2m ax ( , 0 )ddP X d S， q 由式 ()给出。 多期二项式期权定价公式 在了解了一期和二期二项式期权定价公式，现在来推广到 T 期的情形。 命题 ：股票价格运动 T 期的情况下 ,期权在 0t 的价格为   01! ( 1 ) m a x( , 0)( ) ! !1 T n T n n T nT nf TC q q u d S XT n nr     证明：设在 T 期内股价上升 n 次 (从而下降了 Tn 次 )，则最终股价为 n T nTS u d S ，从而在 tT 期权的价值为 m a x ( , 0 )n T nu d S X . 11 一个有二项分布的随机变量，取 u 的概率为 q ，取 d 的概率为 (1 )q ,则取值 n T nud S 的概率为 !B ( | ) (1 )( ) ! ! n T nTn T q q qT n n ， , 其中 q 为风险中性概率，参见式 ()。 由于 n 可取值 0， 1， 2， … ， T,所以期权的期望价值为  T 0 !E ( 1 ) m a x ( , 0 )( ) ! !T n T n n T nn TC q q u d S XT n n    . 由风险中性评价公式，得期权在 0t 时的价值   01! ( 1 ) m a x( , 0)( ) ! !1 T n T n n T nT nf TC q q u d S XT n nr     () 命题 的证明过程中 ()式比较复杂，所以要对其进行简化，令 a 为使得n T nu d S X  的最小正整数，则当 na ， m a x( , 0) 0n T nu d S X ，从而式 ()可以改写为   01! ( 1 ) ( )( ) ! !1 T n T n n T nT nf TC q q u d S XT n nr        00!!( 1 ) ( 1 )( ) ! ! ( ) ! !11n T nTTn T n n T nTTnn ffT u d X TS q q q qT n n T n nrr     () 如记 1 fuqq r ，  111 fdqq r ， 则    (1 ) (1 )1 n T n nn T n T nTfudq q q qr   ， 从而 ()可写成为  0 ! (1 )( ) ! !T n Tnn TC S q qT n n        0! (1 )( ) ! !1T n TnT nfXT qqT n nr          | , | ,1 TfXSB n a T q B n a T qr   () 这就是 T 期二项式模型欧式看涨期权的定价公式 [6]。 12 4 BlackScholes 模型 股票价格的行为模式 在第三章我们讨论了期权的离散模型，它只是假设股价在离散的时点上才发生变化没，而且每次变化只能取两个可能的状态之一。 接下来的这部分就要考虑期权定价的连续模型，即考虑时间和股价都是连续的。 在本节，我们将提供一种循序渐进的方法去了解股票价格遵循的随机过程。 定义 ：马尔可夫过程，是一种说明只有变量的当前值和未来的预测有关的随机过程。 人们通常假设股票价格遵循马尔可夫过程，所以股票价格行为模型通常采用马尔科夫随机过程 的一种特殊形式，即维纳过程来表达，也称布朗运动。 我们要理解遵循 Wiener 过程的变量 z 的行为，可以考虑在小时间间隔上变量 z 值的变化。 定义 ：设一个小的时间间隔长度为 t ，定义 z 为在 t 时间内 z 的变化。 要使 z遵循 Wiener 过程， z 必须满足 : (1): z 与 t 的关系满足方程式 tz   () 其中  为从 N(0， l)分布中抽取的一个随机值。 (2):对于任何两个不同时间间隔 t ， z 的值相互独立。 从定义 中可以看出 z 本身具有正态分布，即 z 的均值 =0 ， z 的方差 = t . 变量 x 的一般化 Wiener 过程用 dz 定义如下 : bdzadtdx  () 其中 a ， b 为常数。 方程 ()给出的一般性 Wiener 过程其漂移率的期望值为 a ，方差率的期望值为 2b。 但是股票期权的价格是该标的股票价格 和时间的函数。 更一般地，我们可以说任何一个衍生证券的价格都是这些标的衍生债券的随机变量和时间的函数。 所有任何研究衍生证券的严谨学者都必须对随机变量函数的行为有所了解，在这一领域内的一个重要结论由一个叫 的数学家在 1951 年发现。 因此称为 Ito 定理。 定理 ：假设变量 x 的值遵循 Ito 过程： ( , ) ( , )dx x t dt x t dz () 其中 dz 是一个维纳过程，  和  是 x 和 t 的函数。 变量 x 的漂移率为  和方差率为 2 .Ito 13 定理表明 x 和 t 的函数 G 遵循如下过程：。