模糊控制在液位控制中的仿真应用设计(编辑修改稿)

模糊控制在液位控制中的仿真应用设计(编辑修改稿)内容摘要：

证明，对任何一个物理系统进行确切描述是不可能的，然而模糊描述则有利于提高解决问题的效率 [8]。 从经典集合到模糊集合的转变 19 世纪末德国数学家 Gee Contor 发表了一系列有关集合的文章，对任意元素的集合进行了深入的探讨，提出了基数、序数等理论，创立了集合论，并成为现代数学的基础。 每个数学分支都可以 看作研究某类对象的集合，因此，集合的理论统一了许多似乎没有联系的概念。 对于集合这一最基本的公理化的概念，不能加以定义，只能给出一种描述。 即：集合一般指具有某种属性的、确定的、彼此间可以区别的事物的全体。 根吉林化工学院毕业设计 说 明书 7 据以上描述，人们研究的对象要么属于某一集合，要么不属于该集合，而不可能既属于这个集合，又不属于这个集合。 对于这种集合的概念，可用特征函数（或称为隶属函数）描述如下：   A x0 A x1)x(A （ 21） 集合等价于其特征函数 μA(x)。 从这个意义上讲，知道 μA(x)就知道 A，反之亦然，二者是一回事。 这就是我们使用最为普遍并被大多数人所接受的 “经典集合” ，为与模糊集合区别，也可称之为 “清晰集合”。 然而，随着科学技术的不断发展，人们所面临的问题也越来越复杂。 在研究的过程中，人们发现大多数客观事物并不具有这种清晰性，比如，根据人的年龄，可以把人分为“少年”、“青年”、“中年”、“老年”等，而这些概念之间的界限是非常不清晰的；同样，根据人的身高可以将人分为“矮个子”、“中等个子”、“高个子 ”等，这些概念之间同样没有明确的界限，用经典集合论对这些概念进行定义就显得无能为力了。 这说明了经典集合的这种局限性是本质上的。 为了克服经典集合理论的这种局限性，一种新的理论 —— 模糊集合理论便应运而生。 经典集合描述的事物具有 “跳变性” ，即事物的属性只能是从 “ 0” 变为 “ 1” 或从“ 1” 变为 “ 0” ，中间没有过渡。 而客观事物只有少数符合这种 “ 跳变 ” 的性质，绝大多数事物属性的变化都是一个渐进的过程。 如人的年龄增长就是一个渐进的过程，从婴儿到老年是随时间的推移逐渐变化的，不可能一夜之间发生 “跳变”。 模糊集合正好能描述这 种渐变过程。 模糊集合与经典集合在区间 [0， 1]上的映射图明确地反映了二者的关系，如图 21 所示 ： 图 21 经典集合与模糊集合映射图 模糊控制在液位控制中的仿真应用设计 8 模糊集合的基本概念 为了对模糊理论进行深入的认识，我们首先应了解模糊集合的定义 [9]。 定义 论域 U 上的模糊集合 A 用隶属度函数 μA(x)来表示，其取值范围为[0,1]。 定义 设给定论域 U，则 U 到 [0,1]闭区间的任一映射 μA都确定 U的一个模糊子  )x( x 1,0U: AA   （ 22） 集 A， μA 称为模糊子集的隶属函数， μA(x)称为 x 对于 A 的隶属度。 隶属度也可记为 A(x)。 在不混淆的情况下，模糊子集也称为模糊集合。 由定义 和 可知， 模糊集合是经典集合的一种推广，它允许隶属度函数在区间 [0,1]内任意取值。 也就是说，经典集合的隶属度函数只允许取两个值 0 或 1，即元素要么属于该集合（隶属度为“ 1”）； 要么不属于该集合（隶属度为“ 0”）；而模糊集合的隶属 度函数则是区间 [0,1]上的一个连续函数。 从上述定义可以看出，模糊集合并不模糊，它只是一个带有连续隶属度函数的集合。 模糊集合清楚地表明了客观事物属于某一集合的“程度”，如果隶属度函数为“ 0”，则表示该事物完全不属于该集合；如果隶属度函数为“ 1”，则表示该事物完全属于该集合；如果隶属度函数取值介于“ 0”和“ 1”之间，则表示该事物部分属于该集合，其值越大，则表明该事物隶属于该集合的“程度”越高，反之则隶属程度越低。 模糊集合及其隶属度函数的出现，使人们更客观、更准确地利用数学语言描述事物。 论域 U 上的模糊集 合 A 可以表示为一组元素与其隶属度值的有序对的集合，即  Ux))x(,x(A A   （ 23） 当 U连续时（如 U=R）， A 一般可以表示为 x/)x(AU A  （ 24） 吉林化工学院毕业设计 说 明书 9 这里的积分符号并不表示积分，而是表示 U 上隶属度函数为 μA(x)的所有点的集合。 当 U 取离散值时， A 一般可以表示为 x/)x(AU A  （ 25） 同样，这里的求和符号也只是表示 U 上隶属度函数为 μA(x)的所有点的集合。 由于模糊集合是经典集合的推广，因此，模糊集合中的许多概念和术语是由经典集合推广而来的，我们在此不作过多的说明。 然而，有些概念是模糊集合体系所特有的，不能通过经典集合推广。 简要说明如下： 定义 支撑集（ support）、模糊单值（ fuzzy singleton）、中心（ center）、交叉点（ crossover point）、高度（ height）、标准模糊集（ normal fuzzy set）、 α截集（ αcut）、凸模糊集（ convex fuzzy set）及投影（ projections）定义如下： 论域 U 上模糊集 A 的支撑集是一个清晰集合，它包含了 U 中所有在 A 上具有非零隶属度的元素，即  0)x(Uxs u p p ( A ) A   （ 26） 式中， supp(A)—模糊集 A 的支撑集。 如果一个模糊集的支撑集是空的，则称该模糊集为空模糊集；如果模糊集的支撑集仅包含 U 中的一个点，则称该模糊集为模糊单值。 如果模糊集的隶属度函数达到其最大值的所有点的均值是有限值，则将该均值定义为模糊集的中心；如果该均值为正（或负）无穷大，则将该模糊集的中心定义为所有达到最大隶属值的点中的最小（或最大）点的值，如图 22 所示： 模糊控制在液位控制中的仿真应用设计 10 图 22 一些典型模糊集的中心 一个模糊集的交叉点就是 U 中隶属于 A 的隶属度值 等于 的点。 模糊集的高度，是指任意点所达到的最大隶属度值。 如果一个模糊集的高度等于 1，则称之为标准模糊集。 图 2— 3 列出了一些常见的标准模糊集，其高度均为 1。 一个模糊集 A 的 α集是一个清晰集 Aα，它包含了 U 中所有隶属于 A 的隶属度值大于等于 α 的元素，即    )x(UxA A （ 27） 当论域 U 为 n 维欧氏空间 Rn 时，凸集的概念可以推广到 模糊集合。 即：对于任意 α，当且仅当模糊集 A 在区间 (0,1]上的 α截集 Aα为凸集时，模糊集 A 是凸模糊集。 令 A 是 Rn上一个模糊集，其隶属度函数为 μA = μA(x1,……,x n)， H 为 Rn中的一个超平面（ hyperplane），定义 H 为 H ={ x∈ Rn x1 = 0 }（为简化起见，这里只考虑了这个特殊的超平面，由它可直接推广到一般的超平面）。 定义 A 在 H 上的投影为在 Rn1上的模糊集合 AH，其隶属度函数为 )x,x(s u p)x,x(n1ARxn1A 1H    （ 28） 式中， )x,x(supn1ARx 1  表示当 x1在 R中取值时函数 μA(x1,……,x n)的最大值。 图 23 几种标准模糊集 吉林化工学院毕业设计 说 明书 11 定义 设论域 U 中给定模糊集 A，则以 A 的全体子集为元素构成的集合，称为模糊集 A 的幂集，记作 F(A)。 若将论域 U 看作一个模糊全集，则 F(U)表示 U 中的所有模糊子集 A 的全体，即  UAA)U(F  （ 29） 模糊集合的基本运算 单一模糊集合只能表示单个事物的特征。 由于客观事物之间存在着各种各样复杂的联系，这些联系用模糊集合来表示就表现为模糊集合之间的运算。 两个在下面的讨论中，如不特别说明，我们均假设所涉及的模糊集合定义在同一论域 U 上。 定义 两个模糊集合 A 和 B 的等价（ equality）、包含（ containment）、补集（ plement）、并集（ union）和交集（ intersection）定义如下： 对任意 Ux ，当且仅当 μA(x)=μB(x)时，称 A 和 B 是等价的。 对任意 Ux ，当且仅当 μA(x)≤μB(x)时，称 B 包含 A，记为 BA。 定义集合的补集为 U 上的模糊集合，记为 194。 ，其隶属度函数为 )x(1)x(AA   （ 210） U 上的模糊集 A 和 B的并集也是模糊集，记为 BA ，其隶属度函数为  )x(),x(m a x)x( BABA   （ 211） U 上的模糊集 A 和 B的交集也是模糊集，记为 BA ，其隶属度函数为  )x(),x(m in)x( BABA   （ 212） 定义 设 A和 B 均为 U上的模糊集，其隶属函数分别为 μA和 μB，则 A和 B 的代数积、代数和、有界和、有界差、有界积可用其隶属函数定义如下： 代数积 :BA 模糊控制在液位控制中的仿真应用设计 12 )x()x()x( BABA   （ 213） 代数和 :BA )x()x()x()x()x( BABABA   （ 214） 有界和 :BA )1),x(B)x(A(m in1))x()x(()x( BABA   （ 215） 有界差 :BA 0))x()x(()x( BABA   （ 216） 有界积 :BA )1)x(B)x(A,0(m a x0)1)x()x(()x( BABA   （ 217） 定义 模糊关系及其合成的定义如下： 模糊关系是一个定义在清晰集 U1,U2,……,Un 的笛卡儿积上的模糊集。 利用式 (23)，可以将 U1,U2,……,Un 上的模糊关系 R 定义为如下的模糊集合： }UUU)u,u,(u))u,u,u(),u,u,u{ ( (R n21n21n21Rn21   （ 218） 其中， ]1,0[UUU: n21R 。 设 U、 V、 W 为三个论域， R 为 U 到 V 的一个模糊关 系， S 为 V 到 W 的一个模糊关系，则模糊关系 R(U,V)和 S(V,W) 的合成SR 是 U W 中的一个模糊关系，其隶属度函数为： 吉林化工学院毕业设计 说 明书 13 )]w,v(),v,u( t [m a x)w,u(sRVvSR   （ 219） 其中， (u,w)U W， t 表示任一 t范数。 由于 t范数可以取很多种形式，所以每种取一种 t范数 就能得到一个特定的关系合成。 最常用的两种关系合成就是 “最。