楔形梁失稳载荷的计算本科毕业论文(编辑修改稿)

楔形梁失稳载荷的计算本科毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

小构件端部的压力，因而使构件处于不稳定平衡状态；曲线的极值点 B标志了此偏心受压构件在弯矩作用的平面内已达到了极限状态，对应的荷载为构件的极限荷载。 由图 ，具有极值点失稳的偏心受压构件的荷载 — 挠度曲线只有极值点，没有出现如理想轴心受压构件那样在同一点存在两种不同变形状态的分点，构件弯曲变形的性质没有改变，故此失稳称为极值点失稳，也称为第二类失稳。 中北大学 2020 届毕业论文 第 9 页 共 40 页 跃越失稳 如图 (a)所示的两端铰接较平坦的拱结构，在均布荷载 q的作用下有挠度W，其荷载一挠度曲线也有稳定的上升段 oA，但是达到曲线的最高点 A时 会突然跳跃到一个非邻近的具有很大变形的 C点，拱结构顷刻下垂。 在荷载一挠度曲线上，虚线 AB是不稳定的， BC段虽然是稳定的而且一直是上升的，但是因为结构已经破坏，故不能被利用。 与 A点对应的荷载 q。 是坦拱的临界荷载。 这种失稳现象称为跃越失稳，它既无平衡分岔点，又无极值点，但和不稳定分岔失稳又有某些相似的现象，都在丧失稳定平衡后又跳跃到另一个稳定平衡状态。 扁壳和扁平的网壳结构也可能发生跃越失稳。 图 (b)是发生局部凹陷的网壳结构的点状跃越失稳。 带有缓坡的有侧移大跨度门式钢架，当钢架横梁的刚度很弱而侧移刚度却较强 时，有可能发生如图 (d)所示的跃越失稳。 横梁的初始倾角即横梁的坡度对这类结构的变形影响很大，雷同于有缺陷的不稳定分岔失稳。 缺陷对这类结构的影响也很大。 图 区分结构失稳类型的性质十分重要，否则不可能正确估量结构的稳定承力。 对于具有平衡分岔失稳现象的结构，如前所述，理论上的屈曲荷载区分成三种情况，一种比较接近于实际的极限荷载，一种大于实际的极限荷载，一种远小于实中北大学 2020 届毕业论文 第 10 页 共 40 页 际的极限荷载。 大挠度理论才能揭示具有平衡分岔失稳的结构屈曲后的性能，然而用大挠度理论分析实际结构的计算过程十分复杂。 为了揭示具 有分岔失稳现象结构的共性， Koiter， W． T．于 1945年利用简单的力学模型系统的分析了分岔失稳的屈曲后性能，建立了完整的理论 [22] [23]。 稳定问题的计算方法 从前面分析的几种结构的失稳现象可知，并非处在平衡状态的结构都是稳定的。 为了进一步说明这一问题，可以用图 位置来说明平衡的稳定性 [2426]。 图 中的三个小钢球都处在平衡状态，但其稳定性却并不相同。 对于图 (a)，当给小球微小干扰后，小球虽然暂时离开了原点，但其势能增加了，一旦撤去干扰，小球又 可恢复到原点，因此这种平衡状态是稳定的；图 (b)则不然，小球经干扰离开原点以后，其势能减小了，撤去干扰后小球不仅不能恢复到原来的原点，反而继续向下滚动，远离原点，因此这种平衡状态是不稳定的；图 (c)的小球经干扰后离开原点，干扰撤去后停留在新的位置，处在中性平衡状态，又称随遇平衡状态，也可以说是从稳定平衡过渡到不稳定平衡的临界状态。 图 对于具有分岔失稳类型结构的稳定计算，既要确定其屈曲荷载，又要明确其屈曲后平衡状态的稳定性。 结构稳定问题的分析方法都是针对着在外荷载作 用下结构存在变形的条件下进行的，此变形应该与所研究结构或构件失稳时出现的变形相对应．首先需画清楚结构或构件的计算简图，图中应展示其变形和作用着的内外力。 例如对于两端铰接的轴心受压构件的弯曲屈曲，在计算式中应计入轴心压力对弯曲变形产生的弯矩，求解构件的弯曲屈曲荷载。 而对于两端固定的轴心受压构件，在求解弯曲屈曲荷载时，不仅要计入上述弯矩，还要考虑弯曲变形在构件端部受到约束而中北大学 2020 届毕业论文 第 11 页 共 40 页 产生的固端弯矩。 又例如对于轴心受压构件的扭转屈曲，应针对构件有扭转变形作用于构件中的扭矩而后求解其扭转屈曲荷载。 构件失稳时产生的变形可能受到与其相连接构件约束的影响，有时甚至还可能与整个结构的变形有关，因此需要着眼于整个结构来分析稳定问题。 由于所研究的结构变形与荷载之间呈非线性关系，因此稳定计算属于几何非线性问题，采用的是二阶分析的方法。 这种分析方法与普通结构力学中的内力计算不同。 对于静定结构，内力计算与结构的变形无关，属于一阶分析；对于超静定结构，虽然在确定其中赘余力的过程中要计及结构变形协调，但是在已经确定了赘余力之后，是在原来未变形结构的基础上计算各部分的内力的，没有再考虑结构的变形，因此又恢复到了一阶分析的方法。 计算所得内力，如拉力、压 力、切力或弯矩都是结构的荷载效应。 稳定计算将涉及构件或结构的一系列初始条件，如结构体系、构件的几何长度、连接条件、截面的组成、形状、尺寸和残余应力分布，以及钢材性能和外荷载作用等。 稳定计算所给出的，不论是屈曲荷载还是极限荷载，都标志着所计算构件或结构的稳定承载力。 钢结构设计如果不符合稳定承载力要求，有可能由于个别构件丧失稳定性而导致整个结构塌落 [27]。 稳定问题的计算方法有以下三种： 平衡法 中性平衡法或静力平衡法，简称平衡法，是求解结构稳定极限荷载的最基本的方法。 对于有平衡分岔点的弹性稳定 问题，在分岔点存在着两个极为邻近的平衡状态，一个是原结构的平衡状态，一个是已经有了微小变形的结构的平衡状态。 平衡法是根据已产生了微小变形后结构的受力条件建立平衡方程而后求解的。 如果得到的符合平衡方程的解有不止一个，那么其中具有最小值的一个才是该结构的分岔屈曲荷载。 平衡法只能求解屈曲荷载，但不能判断结构平衡状态的稳定性。 尽管如此，由于常常只需要得到结构的屈曲荷载，所以经常采用平衡法。 在许多情况下，采用平衡法可以获得精确解。 能量法 如果结构承受着保守力，可以根据有了变形的结构的受力条件建立总的势能，总的势能是结构的应变能和外力势能两项之和。 如果结构处在平衡状态，那么总势能必有驻值。 根据势能驻值原理，先由总势能对于位移的一阶变分为零 ,中北大学 2020 届毕业论文 第 12 页 共 40 页 可得到平衡方程，再由平衡方程求解分岔屈曲荷载。 按照小变形理论，能量法一般只能获得屈曲荷载的近似解；但是，如果事先能够了解屈曲后的变形形式。 采用此变形形式作计算可以得到精确解。 能量法用于大挠度理论分析，可以判断屈曲后的平衡是否稳定．对于图 ，当有微小干扰时其势能有变化，在平衡位置势能对位移的一阶微分都是零。 但是图 (a)的势能具有最小值 ，她的二阶微分是正值，平衡状态是稳定的。 稳定平衡时总势能最小的原理称为最小势能原理。 图 (b)的势能具有最大值，它的二阶微分是负值，平衡状态是不稳定的。 图 (c)的二阶 微分仍为零，属于中性平衡。 这就是说，用总势能驻值原理可以求解屈曲 荷载，而用总势能最小原理可以判断屈曲后平衡的稳定性。 动力法 处于平衡状态的结构体系，如果施加微小干扰使其发生振动，这时结构的变形和振动的加速度都和已经作用在结构上的荷载有关。 当荷载小于稳定的极限值时，加速度和变形的方向相反，因此干扰撤去以后，运动趋于静止， 结构的平衡状态是稳定的；当荷载大于极限值时，加速度和变形的方向相同，即使将干扰撤去，运动仍然是发散的，因此结构的平衡状态是不稳定的；临界状态的荷载即为结构的屈曲荷载，可由结构振动频率为零的条件解得 [28]。 在平衡法和能量法的运算过程中，有用解析法求解的，也有用数值法求解的。 利用计算机技术的数值法已经成为近代研究结构稳定问题的一种基本方法。 稳定计算的近似方法 平衡法建立微弯状态时的平衡微分方程来求解屈曲荷载，可以得到精确解，但是很多轴心受压构件，如非等截面的或者压力沿轴线变化的构件等，因为所 建立的是变系数微分方程，求解十分困难，有时甚至无法直接求解，这时需要采用近似法。 能量法是解决受力条件较复杂或者结构组成条件较复杂的弹性稳定问题的很有效的近似法。 有的近似法如能量法在求解过程中需预先假定构件的近似的变形曲线，用一个有限自由度的体系来代替实际的无限自由度的连续体，前者用一个或一组代数方程表示，而后者用一个或几个微分方程表示。 用比较容易求解的代数方程，来代替很难求解甚至无法求解的微分方程，这是许多近似方法采用的处理方法。 数值法有时采用局部范围的插值函数来逼近构件实际的挠曲线，由中北大学 2020 届毕业论文 第 13 页 共 40 页 于数值法的计算过程具 有很强的规律性，因此便于应用电子计算机求解，且有条件提高求解的精确度，特别是用于求解弹塑性稳定问题。 本文将阐述几种求解的近似方法 [2932]。 瑞利一里兹法 瑞利 — 里兹法是应用势 能驻值原理，直接求解总势能为不变时的条件变分极值问题。 这一瑞利 — 里兹法可用于解决三向位移的结构稳定问题。 今假定结构屈曲时在坐标轴 X， Y和 Z三个方向的位移分别是 u， v和 w，它们的试解函数可以用下列多项函数表示： 1 ( , , )niiiu a x y z (2． 1) 1 ( , , )niiiv b x y z (2． 2) 1 ( , , )niii c x y z (2． 3) 式中 ia ,ib 包 括 ic (i=1,2， 3， „ n)是待定的 3n个独立参数。 称为广义坐标： i ，i 和 i 是 3n个连续的独立坐标函数，这些坐标函数虽然可以任意假定，但是必须满足几何边界条件。 这样将它们代入总势能表达式 VU 后，根据势能驻值原理，即总势能的一阶变分为零， 0)(  VU ，就可确定这具有 3n个独立参数结构的三个方向的位移。 这相当于把具有无限自由度的连续体转化为 3n个自由度的结构体系。 在分岔屈曲的稳定问题中，面临的将是 3n个线性齐次方程 组。 为了得到 ia ， ib 和 ic 的非零解，有它们的系数形成的行列式应为 零。 由于在行列式中含有荷载项，从而可以得到屈曲荷载。 所以用瑞利 — 里兹法求解得到的并非是结构的位移函数，而是屈曲荷载。 如果在 3n个代数方程组中含有常 数项，那么用瑞利 — 里兹法可以得到荷载和位移之间的关系式。 迦辽金法 瑞利 — 里兹法先要写出在外力作用下结构的总势能，再有一阶变分为零这一条件引出一组联立方程，这一组方程都是通过微分得到的。 而迦辽金法则直接利用了势能驻值条件中的平衡微分方程式，不再需要写出总势能，但是这样做的前中北大学 2020 届毕业论文 第 14 页 共 40 页 提是所选位移函数必须满足几何边界条件，又满足自然边界条件，这样得到的平衡方程将是 ：  39。 39。 0 0l IVEIy Py y dx    如果用 L(y)，表示上面括弧中的诸项，也即 (El ivy +py39。 )，这样一来，上面的平衡方程可以写成更普遍的形式：  21 0xx y ydx   设位移函数  1 1 2 2 11...nn n iiy a a a a x        ,对此位移求一阶变分，得到： 121121 1 2 21......nniininn n i iiy y y yy a a a aa a a aa a a a                          将式 ()代入式 ()，但是在上式中 1a ， 2a ， „ , na。 都是不等于零的微小的任意值，而式 ()是恒等式，因此只有          21212112000xxxxxnxL y x dxL y x dxL y x dx  () 式 ()称为迦辽金方程组，它们都具有积分的形式，经过积分以后，得到含有1a , 2a ,„ na。 的几个联立方程组，如果此方程组均为无常数项的齐次方程，则通过其系数行列式为零可得到构件的屈曲荷载。 如式 ()为非齐次方程组，则可解得 1a , 2a ,„ na。 ，从而得到近似的挠曲线函数、最大挠度和最大弯矩。 其它数值方法 用差分法求解构件的屈曲荷载时。 分段 点的导数用了其相邻两分段点之间的斜率，如分段数太少，分段点导数的误差将很大，这样用差分法求解 得到的屈曲载荷必然误差较大。 对于弹塑性状态失稳的构件，如压弯构件的弹塑性弯扭屈曲问题，由于沿构件的轴线方向诸截面因弹性区不同，因此有效的几何性质是变化的，挠曲线上各相邻点的导数必然有较大差别，其高阶导数相差更大，为了提高中北大学 2020 届毕业论文 第 15 页 共 40 页 精确度，必须加密分段点，这样势必加大计算工作量，同时边界点延伸线上虚拟点的函数也会带来误差。 为了获得较高精确解，还有别的数值方。