柯西施瓦茨不等式的四种不同形式的内在联系_毕业论文(编辑修改稿)

柯西施瓦茨不等式的四种不同形式的内在联系_毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

nn     … … 证明： 取 12( ) , (1 , 1 , , 1 )na a a    … …由柯西施瓦茨不等式得 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2( ) | ( , ) | | | | | = ( 1 + 1 + + 1 ) ( + + + )nna a a a a a       … … … 整理得： 2 2 21 2 1 2nna a a a a ann     … … 用于求最值 例 6. 已知 2 2 21 , ( , , ) 2 3x y z f x y z x y z     求 的最小值。 解： 构造向量 11( , , 1 ) , ( 2 , 3 , )23 x y z 可得： 2 2 21 1 1 1| | 1 , | | 2 32 3 6 x y z       11( , ) ( 2 ) ( 3 ) 1 123x y z x y z           由柯西施瓦茨不等式得： 2 2 2111 ( 1 ) ( 2 3 )23 x y z      则 2 2 2 11( , , ) 2 3 6f x y z x y z    即 2 2 2( , , ) 2 3f x y z x y z  的最小值为 116 . 7 用于证明三维空间中点到面的距离公式 例 7. 已知 0 0 0( , , )P x y z 为三维空间中的一点，平面 : 0 ,A x B y C z D    求点P 到 平 面 的 距 离 . 解： 设 ( , , )M x y z 为平面  上 的 任 意 一 点 ， 则 2 2 20 0 0| | ( ) ( ) ( ) ,P M x x y y z z      又因为由柯西施瓦茨不等式有 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0[ ( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]x x y y z z A B C A x x B y y C z z             20 0 0[ ( ) ( ) ]A x B y C z A x B y C z      20 0 0[ ( )]D A x B y C z     20 0 0()Ax By C z D    所以 2 2 2 0 0 00 0 0 2 2 2||| | ( ) ( ) ( ) ,A x B y C z DP M x x y y z z A B C         等号当且仅当0 0 0 ,x x y y z zA B C  即 PM  时成立。 又由距离的定义可知点 P 到 平 面 的 距 离为 0 0 0m i n 2 2 2|||| A x B y C z Dd P M A B C   。 数学分析中的 CauchySchwarz 不等式 定理 定理 [2]（积分学中的柯西 — 施瓦茨不等式） 设 ( ), ( )f x g x 在  ,ab 上可积，则 2 22( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x   . 证法 1 通过建立辅助函数来证明 作函数 2 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a aF x f t g t d t f t d t g t d t    ，由定积分的性质得 8 39。 2 2 2 2( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a aF x f t g t dt f x g x f x g t dt g x f t dt       = 2 2 2 22 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a af x g x f t g t dt f x g t dt f t g x dt   =  2( ) ( ) ( ) ( ) 0xa f x g t f t g x d t   故 ()Fx在  ,ab 上单调递减，即 ( ) ( ), ( )F b F a a b 而 ( ) 0,Fa 故 ( ) 0Fb ，即 2 22( ) ( ) ( ) ( ) 0b b ba a af t g t d t f t d t g t d t     不等式成立。 注： 此证法的关键在于将 b 变成 x 而构建辅助函数，进而将问题转化成利用函数单调性来证明不等式。 此外也可以类似定理 构建一元二次函数来求证。 证法 2 通过构造积分不等式来证明 因为 ( ), ( )f x g x 在  ,ab 上可积，所以 22( ) , ( ) , ( ) ( )f x g x f x g x都可积，且对任何实数 2,[ ( ) ( )]t tf x g x 也可积，又 2[ ( ) ( )] 0,tf x g x故 2[ ( ) ( )] 0ba tf x g x dx，即2 2 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 0b b b ba a a atf x g x dx t f x dx t f x g x dx g x dx        由此推得关于 t 的二次三项式的判别式非正，即2 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( ) 0b b ba a af x g x dx f x dx g x dx     故 2 2 2[ ( ) ( ) ] ( ) ( )b b ba a af x g x dx f x dx g x dx  . 注： 此法的关键在于构造积分不等式 2[ ( ) ( )] 0ba tf x g x dx，展开求关于 t 的判别式，这就将问题转化成了关于 t 的二次三项式有无根的问题。 证法 3 通过利用定积分的定义来证明 因为 ( ), ( )f x g x 在  ,ab 上可积，所以 22( ), ( ), ( ) ( )f x g x f x g x都可积，对区间  ,ab 进行 n 等分，分为 , 0 , 1 , 2 , .i bax a i i nn   … ,由定积分的定义得 1( ) ( ) l i m ( ) ( )nbiia n i baf x g x d x f x g x n    221( ) l i m ( )nbia n i baf x d x f x n    9 221( ) l i m ( )nbia n i bag x d x g x n    因为 2 2 21 1 1[ ( ) ( ) ] ( ) ( )n n ni i i ii i ib a b a b af x g x f x g xn n n      ， 故 2 2 21 1 1[ l i m ( ) ( ) ] [ l i m ( ) ] [ l i m ( ) ]n n ni i i in n ni i ib a b a b af x g x f x g xn n n            即 2 22( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x   . 注： 此证法的关键在于应用“分割，近似求和，取极限”的思想方法 . 证法 4 通过利用二重积分的知识来证明 [3] 令 2( , ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ]bbaaF x y dx f x g y f y g x dy = 2 2 2 2[ ( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ]bbaadx f x g y f x g x f y g y f y g x dy 2 2 2 2。