数学分析中极值原理在实际中的应用_毕业论文(编辑修改稿)

数学分析中极值原理在实际中的应用_毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

函数在某点处取得极值，则一元函数也在该点取得极值。 但若一元函数在某点处取得极值，则多元函数不一定在该点取得极值。 第三章 一元函数极值原理在实际生活中的应用 一元函数的极值原理在实际生活中应用相当广泛， 例如企业的最大利润和最小成本问题，税收额最大问题，以及如何采取措施，使得工厂的废气对环境的污染最小的问题等等，这些都需要一元函数的极值原理来解决。 因此一元函数的极值原理在实际生活中的应用相当重要。 最大利润和最小成本的问题 利润最大化与成本最小化是每一个生产企业孜孜以求的最高目标。 要实现这一最高目标，首先要合理确定产品的产量，除了要考虑市场的需求外，还要考虑到产品的市场价格因素，这就需要研究成本、收益、利润与产量之间的依赖变化关系。 例 1：某厂生产一批产品，其固定成本为 2020 元， 平均 每生产 1 吨产品所需要 成本 费用 为 60 元，市场对该产品的需求规律为 Q=100010P(其中 p 为价格，Q 为需求量 )，求产量为多少时 该工厂获得的 利润最大； 获得最 最大利润时的价格又是多少。 分析过程： 一般地说，总成本包括两部分：固定成本与可变成本，其中固定成本与产量无关，而可变成本与产量有关，它随产量的增加而增加。 如果设总成本为 C，固 定成本为 ，可变成本为 ，产量为 Q，那么，总成本函数可表示为：= +。 设产品销售量等于产量 Q，产品价格为 P，则收益函数为： R(Q)=P(Q) 解： 因为总成本 C 是产量 Q 的函数，即   2020 60C Q Q，而销售总收益为：   21 0 0 1 0 01 0 1 0R Q P Q Q Q     于是总利润为       2 40 20 0010QL Q R Q C Q Q      令   1 4 0 05L Q Q    , 得驻点   12 0 0 , 05Q L Q   ， 所以  200 2020L  为极大值，也是最大值。 即当生产量 200Q 吨时总利润最大，此时最大利润是 2020 元。 当产量 200Q 吨时，价格 2020 0 0 1 0 0 8 01 0 1 0QP     （元），即最大利润时的价格是 80 元。 税收额最大问题 问题归结为求解使税收收益最大的税率（税率收益是税率与实际的市场销售量的乘积）。 例 2： 假设某地区经长时间征税试验，政府能够确定某产品市场的消费量与有关税率之间的关系是 227 3tx （ 1） 其中 t 表示产品的税率， x 表示市场消费的数量。 由于税率等于 t ，所以政府的收益 R 就应等于税率和市场消费数量的积，即  12 22 7 3R xt x x   （ 2） 其中 R 和 t 被假设为非负值， R 的定义域为 03x，由于 0x 和 3x 时，R 都等于零，所以 R 在 0 与 3 之间达到极大值。 对（ 2）式求导数有        11 22222 12 21 2 7 62 7 3 2 7 3 6 022 7 3xR x x x xx         解得驻点 ， 将它代人（ 2）式，即收益  ， 再将 代人（ 1）式，求得税率 %t。 所以当税率为 % 时，政府可获得最大收益 . 工厂废气对环境污染最小问题 工厂的废气对环境的污染程度不容小觑，那如何使得工业废气对环境的污染最小是大家均关心的问题，我们举例说明相关问题。 例 3： 烟囱向其周围地区散落烟尘而污染环境。 已知落在地面某处的烟尘 浓度与该处至烟囱距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比。 现有两座烟囱相距 20km，其中一座烟囱喷出的烟尘量是另一座 喷出烟尘量 的 8 倍，试 在 两座烟囱连线上 找出 一点，使该点的烟尘浓度最小 . 分析过程：已知两座烟囱之间的距离，设点 C 是要求的一点，则容易列出烟尘浓度的函数表达式。 且只有一个自变量，故是一元函数极值原理的应用。 解： 设烟囱 A 的烟尘量为 1，则烟囱 B 的烟尘 量为 8。 C 为两座烟囱连线上的一点 并设 AC＝ )200( xx xCB  20 ， 于是点 C 的烟尘浓度为 )200()20( 8 22  xxkxky， 其中 k 为比例系数 . 332333/ )20( )80001202020(2)20( 162 xx xxxkxkx ky   令 ，有 0800 0120 0609 23  xxx ， 即 0)4 0 03)(203( 2  xx . 解得在（ 0， 20）内惟一驻点 320x . 由于烟尘浓度的最小值客观上存在，并在（ 0， 20）内取得， 在惟一驻点 320x 处， 烟囱喷出的烟尘 浓度 y 最小，即在 AB 间距 A 处 km320处的烟尘浓度最小 第四章 二元函数极值原理在实际生活中的应用 二元函数的极值原理一般适用解决的问题是问题中涉及的自变量有两个，根据二元函数极值原理求出符合题意的解。 二元函数的极值原理在实际生活中应用 很普遍，例如：生产两种产品如何安排才能够使得利润最大问题，如何使用材料才能够使得花费最少问题，以及如何合理的调控价格才能够使得企业获利最大的问题等等。 这些均需要借助二元函数的极值原理来解决。 最大利润问题 每一个企业都想获得高利润，而利润的获得往往受一些条件的限制，例如，原材料的价格，劳动者的工资，以及销售价格等。 例 1： 某厂生产甲乙两种产品，产量分别为 yx, (单位： 千只 )，其利润函数为 152484 22  yxyxz （单位：万元）。 如果现有原料 15000 kg (不要求用完 )，生产两种产品每千只都要消耗原料 2020 kg ．求： (1)使 工厂获得的 利润最大时 ，甲乙两种产品的产量 和最大利润； (2)如果原料降至 12020 kg ，求 获得 利润最大时的产量和最大利润． 分析过程：该题中涉及的自变量有两个，故应该根据所列表达式，由二元函数的极值原理求出相应的问题。 解 ： 首先考虑无条件极值问题．解方程组 得驻点 )3,4( ，此时 1 5 0 0 01 4 0 0 02 0 0 032 0 0 04  ，即原料在使用限额内．又0,0,8,02  yyxxxyxyyyxx zzzzzz ，所以 )3,4( 为极大值点，也是最大值点．故甲乙两种产品分别为 4 千只和 3 千只时利润最大，最大利润为37)3,4( z 万元 ． )2( 当原料为 12020 kg 时，若按 )1( 的方式生产，原料已不足，故应考虑在约束 1222  yx 下，求 ),( yxz 的最大值．应用拉格朗日乘数法，设 )6(152484 22 yxyxyxF  ， 。