常微分方程初等解法及其求解技巧毕业论文(编辑修改稿)

常微分方程初等解法及其求解技巧毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

分离方程 . 做变量替换 2xyu, 则，有 xu dxduxdy 22  () 将（ ）代入 ()中，得   dxxduuuf 121  ， 所以，原方程同样是变量可替换方程 . 类型 6：形如 )(xyfdxdyyx  () 的方程是变量分离方程 . 做变量替换 xyu , 则 2xuxdxdudxdy  () 代入原方程，得   dxxduuufu 11  , 是变量分离方程 . 类型 7：形如  byaxdxdy  () 其中  、  满足   ）的方程 . 可令 1 zy ，方程 ()化为齐次方程   bxzdxdz 11， 事实上 7 ( 1)dy dzzdx dx ， 由于   bzxbzxbyxdxdz  ， 所以    bzaxdxdzz  1 ， 即    bxzdxdz 11， 再设 xzu ，可化为变量分离变量 . 变量分离求解方程是一种相当简洁的解法，也是最基本的解法，求解变量可分离的微分方程，关键是在正确的分离变量与计算不定积分，要理解隐式解存在的根据是隐函数的求导法则，并应该注意 不要遗漏可能存在的常数解 . 对于比较复杂的方程，需经过变量替换或等价变形使之转换成变量分离方程，最后利用变量分离求解，变量代换是求解一阶微分方程的一种重要方法，在一阶微分方程的初等解法中具有重要的作用 . 常数变易法 常数变易法是求解一阶非齐次线性常微分方程的重要方法，即将常数变易为待定函数，通过求解待定函数的表达式进而求出原方程通解，常数变易法实际上也是一种变量变换方法，通过变换可将方程化为变量分离方程 . 一阶线性非齐次微分方程的常数变易法 对于一阶线性齐次方程 0)(  yxpy ，它的通解为   dxxpcey )( .从此出发，将通解中的任意常数 c 换成待定函数 )(xu ，假设   dxxpexuy )()( （ ） 为一阶线性非齐次方程 )()( xqyxpy  （ ） 的解 ，为了确定 )(xu ，将（ ）代入（ ）的左边，得到   dxxpexuyxpy )()()( . 从而得到 )()( )( xqexu dxxp   ， 8 即  dxxpexqxu )()()( ， 积分后得到 cdxexqxu dxxp   )()()( ， 其中 c 为任意常数 .把 )(xu 代入（ ）中，得到方程（ ）的通解为 ))(( )()( cdxexqey dxxpdxxp   . 这种将常数变易为待定函数的方法，通常被称为常数变易法 . 例 解方程 xd ydxyxy  )1( 22 . 解 方程变形为 3xyxydxdy  ，令 2yz ，则 dxdyydxdz 32  ， 代入变形方程为 xzxdxdz 22  ， 利用常数变易法，其中 xxp 2)(  ， xxq 2)(  ，则它的通解为 222 xcxz  ， 代回原来的变量 y ，得到 222 21 xcxy ,即原方程的通解为 cxyx  2422 . 此外，方程还有解 0y . 一阶非线性微分方程的常数变易法 个别的一阶非线性微分方程，可用常数变易法求解，下面介绍四种形式非线性微分方程的常数变易法，包括齐次方程、贝努力方程和黎卡提方程等的常数变易法 . xydxdy （ ） 对这种方程的解法，在一般教科书中都是首先把它化为可分离变量方程，然后根据可分离变量方程的解法去解，在这里我们可以直接用常数变 易法求解 . 9 根据常数变易法，先求出原方程“对应”的齐次方程 xydxdy 的通解为 cxy , 再令 xxcy )( （ ） 则有  )()()()( xcgxcxcxxc  ， 即  xxcgdxxdc )()(  ，即   xdxxcg xdc )( )( . 两边积分就可以求出 )(xc ,然后再代入（ ），便得原方程的通解 . 例 求方程 xyxyyx tan 的通解 . 解 将方程改写为 xyxydxdy tan ，可以求得它“对应”的齐次线性方程 xydxdy 的通解为 cxy ，再令 xxcy )( ，代入原方程可得 )(tan)( xcxdxxdc  , 即 xdxxcxdc )(tan )( ， 两边积分得 cxxc )(sin （其中 c 是任意常数）， 代回变量，得原方程的通解为 cxxysin （其中 c 是任意常数） . 2． 伯努利微分 nyxQyxpdxdy )()(  （ ） 其中 )(xP , )(xQ 为 x 的连续函数 , ( 0,1)n .对于伯努利方程，在一般的教科书上都是先把它化为线性方程，然后根据线性方程的求解方法去解，在这里我们直接用常数变易法去求解 . 根据常数变易法，先求它“对应”的齐次线性方程 yxpdxdy )( 的通解  dxxpcey )( . 令  dxxpexcy )()( ,代入（ ）得，  dxxpnndxxpdxxpdxxp excxQexpxcexpxcexc )()()()( )()()()()()()( ， 即 10   dxxpnn excxQxc )()1()()()( ， 所以 dxexQxcdxc dxxpnn   )()1()()]([)( ， 解得 11)()1( ])()1[()(   ndxxpn cdxexQnxc ， 所以（ ）的通解为 11)()1()( ])()1[(   ndxxpndxxp cdxexQney . 利用此公式可求出任 一 伯努利方程的通解 . 例 求方程 xyxydxdy 6 的通解 . 解 可以判断此方程为 伯 努力方程，这里 xxp 6)(  ， xxQ )( ， 2n ,原方程“对应”的齐次方程为 xydxdy 6。