反常积分与无穷级数收敛关系的讨论毕业论文(编辑修改稿)

反常积分与无穷级数收敛关系的讨论毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

2 页 ] 定理 （狄利克雷判别法） 若  ua dxxfuF )()(在区间上  ,a 上有界 , )(xg 在  ,a 上当 x 时单调趋于 0,则 a dxxgxf )()( 收敛 . 定理 （阿贝尔判别法） 若 a dxxf )(收敛 , )(xg 在  ,a 上单调有界 , 则 a dxxgxf )()(收敛 . 例 讨论下列无穷积分为绝对收敛还是条件收敛 . dxx x 1sin   11 2121,s i n22s i ns i n,2,，而对任给从而有则解：令udtt tt d tt tdxx xt d tdxtx   .1s i n.s i ns i n2.2,22c o s21s i ns i ns i n01,2c o s1c o ss i n111121u1是条件收敛的，在即发散发散，故所以发散这里收敛，又故由狄利克雷判别法知，单调趋于时，而当有xxdxxxdttttdttttttttdtttxxut d t 例 讨论积分 a pxdx (a0) 的收敛性（ p 为实数） 解：当 1p 时 ,因 ba pxdx =  ab lnln （ b ） 所以 a dxx1发散． 黄冈师范学院本科生毕业论文 [第 7 页 共 22 页 ] 当 p 1时 ba pxdx = bapxp  11 1 = )(1 1 11 pp abp   =Ip(b) 因为 blimIp(b)= .1,11,1 ppapp 所以积分 a pxdx 当 p1 时收敛 ,值为11pap；当 p1 时发散 例 讨论积分   dxe xa || (a0)的收敛性． 解：因  0 || dxe xa blim( aea bax 1)10   同理 adxe xa 10 ||   所以   dxe xa ||收敛 , 且   dxe xa ||  0 || dxe xa adxe xa 20 ||   本章小结 详细介绍了无穷积分比较判别法、狄利克雷判别法和阿贝尔判别法 ,用不同的判别法来判断例题的敛散性 . 反常积分与无穷级数收敛关系讨论 [第 8 页 共 22 页 ] 第 3 章 无穷级数 的收敛方法 无穷级数 的概念 给定 一 个数列 }{nu ,对它的各项依次用“ +”号连接起来的表达式   nuuuu 321 （ 31） 称为常数项无穷级数或数项级数（也常简称级数） ,其中 nu 称为数项级数 )1( 的通项或一般项 .数项级数 )1( 也常写作 1n nu或简单写作 nu .数项级数 )1( 的前 n 项之和 ,记为 nnk kn uuuuuS   3211 , （ 32） 称它 为数项级数 )1( 的第 n 个部分和 ,也简称部分和 . 若数项级数 1n nu的部分和数列 nS 收敛于 S 即（ SSnn lim） ,则称 1n nu收敛 ,称 S 为 1n nu的和 ,记作   nuuuuS 321 或  nuS . 若 nS 是发散数列 ,则称数项级数（ 31）发散 . 正项级数的一般判别方法 定理 （正 向级数的单调有界判别）正项级数 nu 收敛的充要条件是：部分和数列 nS 有界 ,即存在某正数 M,对一切正整数 n 有 MSn . 定理 （正项级数的比较原则）设级数 nu 和 nv 是两个正项级数 ,如果存在某正整数 N ,对一切 Nn 都有 nn vu , 则 (i)若级数 nu 收敛 ,则级数 nv 也收敛； 黄冈师范学院本科生毕业论文 [第 9 页 共 22 页 ] (ii)若级数 nu 发散 ,则级数 nv 也发散 . 例 判别级数  22 1an敛散性； 解：因为222 110 nan  而正项级数 21n收敛，由比较判别法知级数  22 1an收敛 . 推论 （正项级数比较判别法的极限形式） 设级数 nu 和 nv 是两个正项级数 .若 ,lim lvunnn  则 (i)当 l0 时 ,级数 nu 和 nv 同时收敛或同时发散； (ii)当 0l 时且级数 nv 收敛时 ,级数 nu 也收敛； (iii)当 l 时且级数 nv 发散时 ,级数 nu 也发散 . 例   ）（ 1)1( aan 敛散性； 解：因为 aaatana ttttnn ln1lnlim1lim1 1lim00  而正项级数 n1 发散，有比较判别法极限形式知   ）（ 1)1( aan 发散 . 判别级数根据比较原则 ,可以利用已知收敛或者发散级数作为比较对象来判别其他级数的敛散性 .本段所介绍的两个方法是以等比级数作为比较对象而得到的 . 定理 （达朗贝尔判别法 ,或称比式判别法）设 nu 为正项级数 ,且存在某正整数 0N 及常数 ).10( qq (i)若对一切 0Nn ,成立不等式 quunn 1, 则级数 nu 收敛 . 反常积分与无穷级数收敛关系讨论 [第 10 页 共 22 页 ] (ii)若对一切 0Nn ,成立不等式 11nnuu , 则级数 nu 发散 . 例   ! 1231 n n ）（ 的敛散性 解 因为 12112l i m)12(31!)!1()12(31l i ml i m 1nnnnnnuunnnnn  所以正项级数   ! 1231 n n ）（ 发散 . 推论 （比 式判别法的极限形式 )若 nu 为正项级数 ,且 ,lim 1 quu nnn  则 （ i）当 1q 时 ,级数 nu 收敛； （ ii）当 1q 或 q 时 ,级数 nu 发散 . 定理 （柯西判别法 ,或称根式判别法）设 nu 为正项级数 ,且存在某正整数 0N 及正常数 l , (i)若对一切 0Nn ,成立不等式 ,1lun n 则级数 nu 收敛 . (ii)若对一切 0Nn ,成立不等式 ,1n nu 则级数 nu 发散 . 例 判断 nnn  12判别法； 黄冈师范学院本科生毕业论文 [第 11 页 共 22 页 ] 解 因为 12112lim12limn    nnnn nnn 所以由根式判别法知 nnn  12收敛 . 推论 （ 根式判别法的极限形式）设 nu 为正项级数 ,且 ,lim lun nn  则 (i)当 1l 时 ,级数 nu 收敛； (ii)当 1l 时 ,则级数 nu 发散 . 积分判别法时利用非负函数的单调性和积分性质 ,并以反常积分为比较对象来判断正项级数的敛散性 . 定理 (积分判别法 ) 设 f 为  ,1 上非负减函数 ,那么正项级数  )(nf 与反常积分 1 )( dxxf同时收敛或同时发散 . 定理 (拉贝判别法 ) 设 nu 为正项级数 ,且存在某正整数 0N 及常数 r , (i)若对一切 0Nn ,成立不等式 1)1( 1   ruun nn , 则级数 nu 收敛； (ii)若对一切 0Nn ,成立不等式 ,1)1( 1  nnuun 则级数 nu 发散 . 例 用拉贝判别法判别下列级数的敛散性    12 12. . .42 )12(. . .31 nnn 解：因为 反常积分与无穷级数收敛关系讨论 [第 12 页 共 22 页 ] 123)32)(22()56(lim)12(31)12()2(42)32()22(242)12(311lim)11(limnn1n。