关于连续与一致连续毕业论文(编辑修改稿)

关于连续与一致连续毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

（ 2） xxg 1sin)(  ,在  1,0 内取 )1( 2,1 39。  nxnx nn 取 210对任意的 0 ，只要 n充分大总有   )1( 239。 nnxx nn ， 039。 12 )1(s i n2s i n)()(   nnxfxf nn . 所以 )(xf 在  1,0 上不一致连续。 例 6．设函数 )(xf 定义在区间  ba, 上。 （ 1） 用  方法叙述 )(xf 在  ba, 上一致连续的概念； （ 2） 设 10 a ,证明： xxf 1sin)(  在  1,a 上一致连续； 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 9 （ 3） 证明：函数 xxf 1sin)(  在  1,0 上非一致连续。 解 :（ 1） 设函数 )(xf 在区间 I 有定义，若   212,1 :,0,0 xxIxx 有 ,)()( 21  xfxf 称函数 )(xf 在 I 上一致连续。 （ 2） 0 ，取  2a ，则当    2121 ,1, xxaxx 时， 212121212121111121s i n2211s i n211c o s21s i n1s i n)()( xxxxxxxxxxxfxf    212212 12 11 axxaxx xx 所以 xxf 1sin)(  在  1,a 上一致连续 . (3) 由 例 5 可知函数 xxf 1sin)(  在（ 0,1）上非一致连续 . 例 x 在  ,0 上一致连续 . 证 ：令 )(xf = x ，先证 )(xf 在  ,1 上一致连续 . 设   ,1, 21 xx 且 21 xx 2 2121 2121 xxxx xxxx 。 ,0 取  2 ，当   ,1, 21 xx 且  21 xx 时，有  2 2121 xxxx。 即证 )(xf 在  ,1 上一致连续。 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 10 一致连续的基本定理及其应用证明题 1：函数 )(xf 在  ba, 上一致连续的充分必要条件是 )(xf 在  ba, 上连续且 )( af 与 )(bf 都存在。 1：函数在  ba, 上一致连续的充分必要条件是 )(xf 在  ba, 上连续且 )(bf 存在。 2：函数 )(xf 在  ba, 上一致连续的充分必要条件是 )(xf 在  ba, 上连续且 )( af 存在。 1：（一致连续函数的区间可加性）函数 )(xf 在21 II， 上一致连续，若  21 II ，则 )(xf 在 21 II  上一 致连续。 1：函数 )(xf 在  ,a 上一致连续的充分条件是)(xf 在  ,a 上连续且 )(f 存在。 ：函数 )(xf 在  ,a 上连续且 )(af 和)(f 都存在。 2：函数在  b， 上一致连续的充分条件是 )(xf在  b， 上连续且 )(f 存在。 2推论：函数 )(xf 在  b，—  上一致连续的充分条件是 )(xf 在  b，—  上连续且  bf 和 )(f 都存在。 ：函数在 )(xf 上一致连续的充分条件是 )(xf 在  ， 上连续且 )(f 和 )(f 都存在。 ：若对于定义在区间 X 上 的 函 数 )(xf 和 )(xg ， ,0 39。 39。 39。 XxxL  有)()()()( 39。 39。 39。 39。 39。 39。 xgxgLxfxf  成立，而 )(xg 在 X 上一致连续，则 )(xf 在 X上也一致连续。 ：设函数 )(xf 在 区间 X 上连续，且满足 )(39。 xf 在 X 上有界，则 )(xf 在 X 上一致连续。 例 1.（ 1）  1,0,)( 3  xxxf ； （ 2） ),0(,1 1)(2  xxxf； （ 3）),0(,s in)(  xx xxf。 解 ：（ 1）  1,0,)( 3  xxxf 在  1,0 内连续，且 1,0)( 310 li mli m    xxf xx 即 1,0)( 310 li mli m    xxf xx都存在，故 )(xf 在  1,0 一致连续。 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 11 (2)21 1)( xxf 在  ,0 内连续，且 0,1)( limlim0    xx xf， 故 ),0(,1 1)( 2  xxxf一致连续。 （ 3） 0,1)( limlim_0    xx xf满足定理条件，故 )(xf 在区间内一致连续。 例 )(xf 在  ，0 上连续， Axfx  )(lim存在，则 )(xf 在  ，0 上一致连续。 证 : 因为 Axfx  )(lim，由柯西准则， 0,0  M 当 Mxx 2,1 s时，有,)()( 21  xfxf . a 又由于 )(xf 在  ， 10 M 上连续，从而一致连续，故对上述00 1,   ， ，当 43,xx  ， 10 M ，且 143 xx 时，有 ,)()( 43  xfxf b 取  1,min 1  则   ,0, 39。 39。 39。 xx 且  39。 39。 39。 xx 时，由 a, b 俩式知 )()( 39。 39。 39。 xfxf .此即证 )(xf 在  ，0 上一致连续 . 例 ：xexxf314)(  在  ，0 上一致连续。 证 ：因为 )(xf 在  ，0 上连续，又由罗比塔法则可证 0314lim  xx ex。 由上题 得 )(xf 在  ，0 一致连续。 例 4．已知 )(xf 在  ba, 上连续，证明： )(lim xfax 存在。 证 ： 由假设 0,0   ，对    2121 , xxbaxx ,都有 ,)()( 21  xfxf 故当   axaaxa 21 ,时，有 ,)()( 21  xfxf 由柯西准则知 )(lim xfax  存在。 南京师范大学泰州学院本科毕业论文 12 例 )(xf 在有限开区间  ba, 上连续，证明： )(xf 在  ba, 上一致连续的充要 条件是 )(lim0 xfax 及 )(lim0 xfbx 都存在。 证 : 充分性，设 cxfax  )(lim, bxfbx  )(lim0 规定 1)1,0(0,),(,)(xxxdxfcxF 则 )(xF 在  ba, 上。