傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用本科毕业论文(编辑修改稿)

傅里叶级数与傅里叶变换的关系与应用本科毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

n=0,1,2,… (13a) 1 ( ) s innb f x nxdx   , n=0,1,2,… (13b) 证明：由定理条件，对（ 12）式逐项积分可得： ()f x dx = 01 ( c o s s i n ) .2 nnna d x a n x d x b n x d x         由关系式 c os si n 0nnx dx b nx dx知，上式右边括号内的积分都等于零，所以 00( ) 22af x d x a     即得 0 1 ()a f x dx   现以 costx 乘（ 12）式两边（ t 为正整数），得 01( ) c o s c o s ( c o s c o s s i n c o s )2 nnnaf x t x t x a n x t x b n x t x    （ 14） 由级数（ 12）一致收敛，可以推出级数（ 14）也一致收敛。 现在对级数（ 14）逐项求积，有 滁州学院本科毕业论文 6 ( ) cosf x txdx = 01c o s ( c o s c o s s i n c o s )2 nnna t x d x a n x t x d x b n x t x d x         由三角函数的正交性，右边除了以 ta 为系数的那一项积分 2cos txdx  外，其他各项积分都等于零，于是得出 ( ) c os ( 1 , 2 , )tf x tx dx a t     即 1 ( ) c o s ( 1 , 2 , )ta f x tx d x t    同理，（ 12）式两边乘以 sintx ，并逐项求积，可得 1 ( ) s in ( 1 , 2 , )tb f x tx d x t    一般的说，若 f 是以 2 为周期且在 [ , ] 上可积分的函数，则按公式 （ 13） 计算出的 na 和 nb叫做函数 f 的傅里叶级数，记作 01( ) ~ c o s s i n )2 nnnaf x a n x b n x 这里的“ ~”表示上式右边是左边函数的傅里叶级数。 周期为 l 的函数的傅里叶级数 设 f 是以 2l 为周期的函数，通过变量置换 xt l 可以把 f 变成以 2 为周期的 t 的函数 ( ) ( )ltF t f  .若 f 在  ,ll 上可积，则 F 在  , 上也可积，这时函数 F 的傅里叶级数展开式是  01( ) ~ c o s s i n2 nnnaF t a n t b n t (1) 其中 1 ( ) c o sn td tna F t   n=0,1,2… (2) 1 ( ) sin n td tnb F t   n=1,2… 滁州学院本科毕业论文 7 因为 xt l ，所以 ( ) ( ) ( )ltF t f f x。 于是由（ 1）与（ 2）式分别得 01( ) ~ c o s s i n2 nnna n x n xf x a bll (3） 与 1 ( ) c o sln l nxa f x d xll  , n=0,1,2… (4) 1 ( ) sinln l nxb f x d xll  , n=1,2… 这里（ 4）式是以 2l 为周期的函数 f 的傅里叶级数，（ 3）式是 f 的傅里叶级数 . 傅里叶级数的性质 收敛性 定理 傅里叶级数的收敛准则 —— 狄利克雷（ Dirichlet）定理 若 （ 1） )(xf 在  ll,  ll, 上或者连续，或者只有有限个间断点，在间断处函数的左、右极限都存在； （ 2） )(xf 在  ll, 上只有有限个极大值点与极小值点； （ 3） )(xf 在  ll, 外是周期函数，其周期为 2l ，则级数  在连续处 在间断处)。 ()0()0(2110 {)s i nc os(2xfxfxfkk k xlkbxlkaa   （ 1） 证明 )(xSn )s inc o s(210 xlkbxlkaa knk k   =  dxlklkxlklkfl l l nk      1 s i ns i nc osc os21)(1 =  dxlkfl l l nk     1 )(c os21)(1 =  dlxlxnfl l l 2)(s in2)()21s in ()(1 滁州学院本科毕业论文 8 因为 )(2s in)21s in (21lim xxxnn   及 )(1)( xaax   所以      llxfxfxfnnkk k dxfxSxlkbxlkaa )()0()0(2110 )()()(lim)s i nc o s(2  证毕 例：试将锯齿波 xxf )( 在区间  ll, 上  ll, 展开为傅里叶级数。 解：我们要将 )(xf 在  ll, 之外视作是 2l 的周期函数，由傅里叶级数公式可得： 0c o s1    dlklallk （ k =0,1,2,„） 及     kl lk y d yyk lldlklb 02 s in)(2s in1 =   102 )1(2c o ss in)( 2  kk k lyyyk l   （ k =1,2,3，„） 因此，所求级数为 xlkklxf k k  s in)1(2)( 1 1  （ 2） 由于 x =0 是 )(xf 的连续点，所以上式两边可划等号。 事实上，也正是如此，可代入数字验证。 而 x =l 是 )(xf 间断点，由定义可知 llfllf  )0(,)0( 按收敛准则， )(xf 傅里叶级数在间断点处应收敛到   0)0()0(21  lflf 事实上，以 x =l 代入级数（ 2），得级数和为零。 必须注意，狄利克雷定理中加在 )(xf 上的条件（ 1）和。