全等三角形在初中数学中的应用毕业论文(编辑修改稿)

全等三角形在初中数学中的应用毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

长 AB 至 F 使 AF AC ∵ AE 是 CAB 的平分线 ∴ FAE CAE  在 FAE 和 CAE 中 ∵ AF AC ∵ FAE CAE  ∵ AE AE ∴ ()FAE CAE SAS   ∴ 45EFA ECA     ∴ BFE 是等腰直角三角形 ∴ BE BF ∴ AF AB BF AB BE    ∴ AB BE AC 小结 ：线段的和差问题常常借助于全等三角形的对应边相等，将 不在一条直线的两 6 条（或几条）线段转化到同一直线上． 证明一条线段等于另两条线段之和（差）常见的方法是： 延长 其中一条短线段，在上面 上截取另一条短线段，再证明它们与长线段相等，这种方法叫“补短法”．在长线段上截取一条线段等于短线段，再证明余下的线段等于另一条短线段，这种方法叫“截长法”．证明两条线段的和（差）等于另一条线段的常用方法 就是这两种 ． 4． 1． 2 平行线法（或平移法） 若题 目 中含有中点可以试过中点作平行线或中位线 （平行且等于第三边的一半） ，对 直角三角形 ,有时可作出斜边的中线． 例 2 如图， 在 ABC 中 ， 60BAC   ， 40C   ,AP 平分 BAC 交 BC 于点 P ，BQ平分 ABC 交 AC 于 Q ，求证 : AB BP BQ AQ   图（ 3） 说明 :(1)本题 可以在 AB 截取 AD AQ ，连 OD ，构造全等三角形，即 “ 截长补短法 ． (2)本题利用 “ 平行 线 法 ” 的 解法 较多 ，举例如下： ① 如图（ 2） ， 过 O 作 //OD BC 交 AC 于 D ，则 证明 ADO ABO  解决． ② 如图 （ 3） ，过 O作 //DE BC 交 AB 于 D ，交 AC 于 E ，则 证明 ADO AQO   和ABO AEO  解决． ③ 如图（ 4），过 P 作 //PD BQ 交 AB 的延长线于 D ，则 需证明 APD APC  解决． ④ 如图（ 5），过 P 作 //PD BQ 交 AC 于点 D ，则 只需证明 ABP ADP  解决． 4． 1． 3 旋转 法 对题目中出现 相等 的 线段 有一个公共端点 时，可 尝 试用旋转法 来 构造全等三角形 例 3 如图， 设点 P 为等边三角形 ABC 内任一点，试比较线段 PA 与 PB PC 的大小． 7 图（ 6） 简析 ： 题目虽然 短，但涉及到的知识点很多 ． 由于 ABC 是等边三角形，所以可以将 ABP 绕点 A 旋转 60 到 ACP 的位置 （ 用到 等量 代换 ） ， 连结 PP ，则()ACP ABP SAS   ，所以 AP AP ， CP BP ， 则 APP 是等边三角形，即 PP PA ，在 CPP 中，因为 PP PC PC，所以 PA PB PC． 说明 ： 由于 图形 旋转的前后，只是 变化了 位置，而 大小和 形状都没有改变，所以对于等边 三角形、正方形等特殊的图形我们可以利用旋转的方法构造全等三角形 解题 ． 4． 1． 4 倍长中线法 题 目 中 若 条件有中线，可 将其 延长一倍，以构造 新的 全等三角形，从而 使 分散条件集中在一个三角形内 ． 例 4 如图 ， 在 ABC 中， AD 是 它的 中线， 作 BE 交 AD 于点 F ， 使 AE EF ． 说明线段 AC 与 BF 相等的理由． 图（ 7） 简析 ： 由于 AD 是 ABC 中线，于是可延长 中线 AD 到 G ，使 DG AD ，连结 BG ，则 在 ACD 和 GBD 中， AD GD ， ADC GDB  ，所以 ACD GBD  (SAS)， 则AC GB ， BFG G  ， 而 AE EF ，所以 CAD AFE  ， 又 因为 AFE BFG  ，所以 BFG G  ， BF BG ， 即 AC BF ． 说明 ： 要说明线段或角相等，通常的思路是说明它们所在的两个三角形全等，而 8 遇到中线时又通常通过延长中线来构造全等三角形 ． 4． 1． 5 翻折法 若题设中含有垂线、角的平 分线等条件的，可以试用轴对称性质，沿轴翻转图形来构造全等三角形． 例 5 如图 ， 已知：在 ABC 中， 45A   ， AD BC ， 如果 4BD ， 3DC ， 求ABC 的面积． 图（ 8） 解：以 AB 为轴将 ABD 翻转 180186。 ，得到与它全等的 ABE ，以 AC 为轴将 ADC 翻转 180186。 ，得到 与它全等的 AFC ， EB 、 FC 延长线交于 G，易证四边形 AEGF 是正方形，设它的边长为  ，则 4BG ， 3CG ，在 Rt BGC 中， 2 2 2( 4) ( 3 ) 5   ,解得 8 ，则 6AD ， 所以 85 2 02S ABC   ． 说明：当从题目已知中不能直接明确的求出 问题时，我们可以从一般图形通过翻转转变为特殊的图形，用简便的方法求解，变换可以有一步或几步 ． 4． 2 由角平分线 构造全等 三角形 不管 是 两个图形轴对称还是 轴对称图形，我们 都 不难发现 轴上一点（此点作为顶点）与 对应点组成的角被轴平分， 方便我们 在做题中如果遇到角平分线我们就会联想到，以角平分线为轴构造对称（全等），从而把 线段、 角转移达到解题目的． 例 6 如图， 等腰梯形 ABCD 中， //AD BC ， 45DBC   ，翻折梯形 ABCD ，使点B 与点 D 重合，折痕分别交 AB 、 BC 于点 F 、 E ．若 4AD ， 10BC ．求 BE 的长． 图（ 9） 图（ 10） 9 解 ： 由 题意得 根据翻折重合，得 BFE DFE  ，∴ DE BE 在 BDE 中， DE EB ， 且 45EBD   ∴ 45EDB EBD     ∴ 90BED   ，即 BC DE ，在等腰梯形中， AD=4， BC=10， 过 A 作 BC AG ，交 BC 于 G ，如图（ 10），四边形 AGED 是矩形∴ 4GE AD 在 Rt ABG 和 RtRt DCE 中， DC AB ， DE AG ∴ Rt ABG Rt DCE  (HL)，∴ BG CG ∴  1 42CE BC AD   ∴ 6BE ． 说明：由角平分线构造全等三角形，这类题是很简单的 ，可以根据角平分线上的点到两边的距离相等 ，就构造出直角三角形， 进 而对称轴就是公共边，就可以用 HL 证明全等三角形 . 4． 3 添加辅助线构造全等三角形 在证明 几何图形题目的 过程中 ，通常 需要 先 通过 证明全等三角形来 研究 转移线段或角 ， 或者两 条线段 或 角的相等关系。 但有些时候，这样要证明的全等三角形在题设中，并不是十分明显。 针对这样的题型 我们需要通过添加辅助线，构造 出 全等三角形，进而就可以证明所需的结论 . 在这里，我 尝试通过几个典型例题让大家了解添加辅助线构造全等三角形的方法 .当然这些例题体现了 添加辅助线的方法 是 从简单到复 杂 ，从特殊到一般 ，研究线段的长短关系 是 体现了从 不相等到相等的递进关系 [2]. 注意：添加的辅助线都是用虚线表示 . 4． 3． 1 直接证明线段（角）相等 例 7 如图，已知 AB AD ， CB CD ， (1)求证： BD  ； (2)若 AE AF ，试猜想 CE 与 CF 的大小关系 . 如图（ 11） 10 简析： 第（ 1）小问 考虑到在没有学习等腰三角形 的时候，要证明两个角相等，经常需要证明它们所在 的两个三角形全等。 本题 要证明 BD  ．在 题目的 已知条件中明显 缺少全等的三角形 ，我们就要想到添加辅助线 连结 AC 后， 以 AC 作为公共边，根据题目的已知条件可以看出 ABC ADC  ，进而 就 证明 BD  .如果在学习等腰三角形的知识 后还可以连结 BD ，通过 说明 等边对等角，再用角 的 等量 代换 关系 得到BD  更加 简单 . 第（ 2）小问。