金融时间序列的多重分形分析毕业论文(编辑修改稿)

金融时间序列的多重分形分析毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

件下对应的概率分布特征，其中奇异标度指数 a 规定了奇异性的强度，而 )(af 则描述了分布的稠密程度 . 多重分形过程 Mandelbrot 通过运用增量矩的尺度特性，来定义了多重分形过程： 如果一个连续的时间过程  TttX , 具有一个平稳的增量，并且满足：         1  qq tqctXttXE  （ 21） 则称 tX 为多重分形过程 .其中 t 为时间增量， T 和 Q 是实轴上的区间，它们长度非零，并且   QT  1,0,0 ， qc 和 q 均是 Q 域上的函数 . 上式表示了多重分形过程的矩的一个幂律关系的性质 .函数 q 是多重分形过程中的尺度函数，通过运用序列增量的矩特性，从而刻画出来不同幅度的增量的尺度特征，进而可以刻画出各个不同时点上的分形特征 .其中，当 q 为q 的线性函数时，这一过程是单分形过程，比如当   1Hqq 时， q 是由 H唯一决定的一个线性函数；而当 q 为 q 的非线性函数时，这时就称这一过程是多重分形的过程 . 通过对不同幅度的波动进行幂次方处理，这就 相当于对波动的波幅放大几 天津科技大学 2020届本科生毕业论文 8 倍或缩小几倍 .所以，不同的 q 值对应的尺度函数 q 对应着不同的波动，从而反映出了不同程度大小的价格波动信息，而且随着时间标度的取值变化，还可以观察在不同时间标度上的价格波动信息 .总之，多重分形分析能够更加清晰地分析研究金融市场上的不同时间的标度，不同幅度变化的价格或者收益波动的相关特征 . 多重分形能够定量地刻画出十分复杂的几何对象在不同的层次的一个分形特征，并且可以用多重分形谱的形式表达出来 .因此，我们可以 知道，通过运用多重分形的相关理论去分析研究金融市场，能够更准确地对金融市场的波动性进行更加细致的剖析和描述，进而可以得到有关于金融时间序列在不同的时间标度以及不同幅度程度的波动信息 . 广义 Hurst 指数 对于时间序列 tX ，根据公式 (21)，来定义广义 Hurst 指数  qHHq ，           qHqq tqctXttXE  1 （ 22） 函数 qH 描述了时间增量在 t 下的广义平均波动的相关信息 .特别地，当 1q 时， 1H 即为前面单分 形中的指数，也称为全局 H 指数，当 H 时，序列表现持续性， H 时，表现反持续性， H 时，即为随机的布朗运动 . 广义 Hurst 指数 qH 与尺度函数 q 之间的关系为：     qqqH 1*1  （ 23） 分形市场理论 分形时间序列 对于一个时间序列来说，只有在它受到许多等可能性事件的共同影响时才是随机的 .而且对于一个非随机的时间序列，构成序列的数据之间是具有内在相关性的，也就是说时间序列是分形的 .分形吋间序列也通常被称为是有偏随机的游动，曼德勃罗特（ Mandelbrot）把这种随机游动称为是分数布朗运动 .它表示了时间序列的非随机特征，序列具有趋势叠加上噪声的这样的一种特性 .趋势的存在也导致了测出的观测值之间不是相互独立的，这个时候，序列的观测值就具有长记忆性的特征 . 通常来讲，分形时间序列具有下列的一些特点： （ 1）分形时间序列具有着无限的精细结构 .当观测的对象，即股票收益率序 天津科技大学 2020届本科生毕业论文 9 列的尺度从年收益率改变到周收益率，继续改变到日收益率，再到分时这样的逐渐变化时，大量结果表明，股票收益率序列的复杂细节是不会随尺度改变而发生变化的 . （ 2） 分形时间序列具有分形维数 .分形维数是描述时间序列如何填充空间的这样的一个参数 .它表征了分形几何体的复杂程度以及粗糙程度 . （ 3）分形时间序列具有自相似性特征 .复杂分形系统的整体与部分以及部分与部分内部之间的精细的结构和性质是具有相似牲的或者是具有统计意义上的相似性的 . 分形市场理论 Peters 在 1994 年开始将分形理论引入到了复杂的经济系统，提出了分形市场理论，分形市场理论是分形理论在金融市场分析研究中的一个具体运用 . 传统的有效市场理论认为市场的收益序列具有线性、独立以及有限 方差的这些特征，并且其分布是服从正态分布的，有效市场理论展现了一种理想的市场结构 .Peters 则根据非线性的观点，在实际的金融市场中，提出了更符合资本市场实际的基本理论，这一理论揭示出了不同的证券市场信息接受程度和不同的投资时间尺度对不同投资者的投资决策所产生的不同影响，认为资本市场都具有分形结构的特征，其收益率的分布也并不是服从正态分布的，而是具有明显的尖峰厚尾特征，没有方差或方差无限大 . 由于在资本市场中，存在许多偏好不同的投资者，加上投资者的理性有限，投资者对信息的理解能力互不相同，导致投资者做出不同 的投资决策 .由于上述实际资本市场的种种因素，决定了资产价格的变化不是随机游动的，而是具有持续相关性的 . 分形市场的特征有： （ 1） 标度不变性，也就是指不同的时间标度下具有相似的统计规律 . （ 2） 长程相关性，即过去的相关信息对现在以及未来的事件不是相互独立的，而且是能够产生着长期性影响的 . （ 3） 如果预测的时间越长，那么预测的结果是越不可信的，不能够进行长期准确地预测 . 天津科技大学 2020届本科生毕业论文 10 3 几种分形方法理论研究 单分形方法 R/S 方法分析 R/S 分析法，即重标极差分析法，它广泛用于研究时间序列的分形特征和分 析长期记忆过程，该方法最初是英国水文学家赫斯特 (Hurst)在 1951 年研究尼罗河水坝工程时经过研究提出来的，他发现了一个更一般的幂率形式（式 31）并同时提出来一个新的非参数统量，被称为 Hurst 指数，简称为 H 指数 .此后，R/S 分析法被用在各种时间序列的分析当中 .   Hn CnSR  (31) 其中，对于一个时间序列 tx ， R/S 是重标极差， S 指序列 tx 每段的方差，n 表示每段区间的长度， C 为常数 . R/S 分析方法的基本步骤如下： （ 1）对一个时间序列 tx ，把它分为 k 个长度为 n 的等长子区间，对于每一个子区间，依次计算下面第 2 至第 5 步 . （ 2）计算各段数据的均值和标准差，以第 j 段的均值 jE 和标准差 jS 为例：    nij injxnE 1 11 ，     ni jj EinjxnS 1211 （ 32） （ 3） 计算各段数据的累计离差和极差，以第 j 段的累积离差序列   nrrD j ,...,2,1,  和极差 jR 为例：       ri jj EinjxrD 1 1，    jjj DDR m inm a x  （ 33） （ 4）计算各段的重标极差，以第 j 段为例：   jjj SRSR  （ 34） （ 5） 计算整个 k 段序列的平均重标极差  nSR/ ：    kj jn SRkSR 11 （ 35） （ 6）改变每段长度 n，使 n 取值为从 2 到  2N 之间改变，对不同的 n，重复上述（ 2） （ 5）步，得到散点对   nSRn, 天津科技大学 2020届本科生毕业论文 11 （ 7）绘制     nSR n log~log 图形，并用最小二乘法进行线性拟合，如满足下式，则说明序列 tx 是单分形，且所得到的直线的斜率就是 Hurst 指数 .       nHnSR n l o gl o g~l o g  （ 36） 通 过分析 Hurst 指数结果，可得出：当 H 时，说明序列具有持续性；H 时，序列具有反持续性； H 时，序列符合随机游走 . R/S 分析法对短期记忆性比较敏感，因而由其不足，而消除趋势波动分析方法（ DFA）可以消去短期相关性并反映长记忆性及分形特征 . DFA 方法分析 等物理学家和生物学家在 1994 年研究 DNA 分子的时候，发现NDA 分子顺序在其分子个数大于 410 时，会呈现出一种长记忆性的、幂指数分布，之后他们提出了 DFA(detrended fluctuation analysis)方法 .DFA 方法可以消除短期的波动趋势，用来检测非平稳时间序列的长记忆性，并且得到 Hurst 指数 . DFA 方法的步骤如下： （ 1） 根据时间序列   Nixt ,...,2,1,  ，得出累积离差序列  ky ：     Nkxxky ki i , . . . ,2,1,1   （ 37） 其中， x 是序列 ix 的平均值，Nxx Ni i 1*1 （ 2） 将（ 1）中得到的序列  ky 分成  sNNs int 个连续的不重复的区间段，其中 s 为每个区间段的长度 .因为 N 不一定被 s 整除，为了防止末尾数据丢失，可以从序列  ky 末端开始反方向再重复分割一次，这样子就会得到一共sN2 个长度为 s 的区间段 . （ 3） 在每个区间段内，如第 j 段，用最小二乘法回归拟合趋势多项式kPmj ：     ,...,2,1,1110   mkbkbkbbkP mjmmmjjjmj （ 38） 其中， m 称为回归趋势阶数 .不同的阶 DFA 的比较结果能够估计时间序列里的趋势的强度 .于是计算出各个区间段消除趋势后的序列      kPkyky mjj  ，并分别对这 sN2 个区间段计算出方差： 天津科技大学 2020届本科生毕业论文 12         ssimj NjiPisjyssjF , . . . ,2,1,11, 212   （ 39）         sssimj NNjiPisNjNyssjF 2,...,1,1,122   （ 310） （ 4）对所有区间段的方差求平均值，再计算方根得到 DFA 波动函数 sF ：     2122 ,2 1 sNijssjFNsF （ 311） （ 5）对不同 s，重复上述（ 2） （ 4）步，并计算出相对应的 sF .如果 sF与 s 的对数函数之间存在存在线性关系：    sHCsF l o gl o gl o g  （ 312） 则存在幂率形式的波动：  HCssF  （ 313） 其中， H 即为 Hurst 指数 . MFDFA 方法 Kantelhardt 等人 2020 年在原来 DFA 方法的 基础上，提出了 MFDFA 方法，也就是多重分形消除趋势分析方法，它是在验证单分形的方法 DFA 的基础上提出来的，用来验证一个非平稳时间序列是否具有多重分形特征的有效方法 . 基本步骤如。