行列式的计算方法研究毕业论文(编辑修改稿)

行列式的计算方法研究毕业论文(编辑修改稿)内容摘要：

 ． 再将上式等号右边的第二个行列式按第一列展开，则可得到        1 1 1 2 2 2 21 1 1nnn n n n nD a a a a a a            ． 行列式的计算方法研究 7 递（逆）推公式法 递推法是根据行列式的构造特点，建立起 nD 与 1nD 的递推关系式，逐步推下去，从而求出 nD 的值。 有时也可以找到 nD 与 1nD , nD 的递推关系，最后利用 1D ... 2D 得到 nD 的值。 注意 :用此方法一定要看行列式是否具有较低阶的相同结构如果没有的话，即很难找出递推关系式，从而不能使用此方法。 等差数列递推 例 1: 计算行列式10000000010001000nD. 解：将行列式按第 n 列展开 ,有 21)(   nnn DDD  , 1 1 2 1 1 2( ) , ( ) ,n n n n n n n nD D D D D D D D                得 nnnnnn DDDDDD    )()( 1223221 。 同理得 nnn DD   1 ,   .,。 ,)1(11 nnnnnD 行列式的计算方法研究 8 例 2 ： 计算ayyyxayyxxayxxxaD n 解： 111)()(1010010001)(000nnnnxayDyaxaxyxyxaxyxayDyaayyyxayyxxayxxxyayyxayxxaxxxyaD 同理 11 )()(   nnn yaxDxaD 联立解得 )(,)(( yxyx xayyaxDnnn   ） 当 yx 时 ,  1 2 1122 1 12( ) ( ) ( ) 2 ( )( ) ( 2) ( ) ( ) ( 1 )nnn n nn n nD a x D x a x a x D x a xa x D n x a x a x a n x                   行列式的计算方法研究 9 “一路直推” 例 1: 计算 n 阶行列式1 2 2 11 0 0 00 1 0 00 0 0 00 0 0 1nn n nxxxDxa a a a a x． 解 首先建立递推关系式．按第一列展开，得：      1 1 1111 2 3 2 11 0 0 01 0 0 0 00 1 0 01 0 0 00 0 0 01 1 1 0 1 0 00 0 0 10 0 0 1n n nn n n n n nn n nxxxxD x a x D a x D axxxa a a a a x              ， 这里 1nD 与 nD 有相同的结构，但阶数是 1n 的行列式． 现在，利用递推关系式计算结果．对此，只需反复进行代换，得：    2 2 1 2 22 1 2 1 3 2 1 1 2 2 1 nnn n n n n n n n n n n n n nD x x D a a x D a x a x x D a a x a x D a x a x a x a                         ，因 111D x a x a   ，故 111nnn n nD x a x a x a     ． 最后，用数学归纳法证明这样得到的结果是正确的． 当 1n 时，显然成立．设对 1n 阶的情形结果正确，往证对 n阶的情形也正确．由  1 2 11 1 2 1 1 1 n n n nn n n n n n n nD x D a x x a x a x a a x a x a x a                  ，可知，对 n阶的行列式结果也成立．根据归纳法原理，对任意的正整数 n，结论成立． 对角直递 例 1： 证明 n阶行列式2 1 0 0 0 01 2 1 0 0 010 0 0 1 2 10 0 0 0 1 2nDn  ． 行列式的计算方法研究 10 证明 : 按第一列展开，得 2 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 01 2 1 0 0 0 1 2 1 0 0 020 0 0 1 2 1 0 0 0 1 2 10 0 0 0 1 2 0 0 0 0 1 2nD ． 其中，等号右边的第一个行列式是与 nD 有相同结构但阶数为 1n 的行列式，记作 1nD ；第二个行列式，若将它按第一列展开就得到一个也与 nD 有相同结构但阶数为 2n 的行列式，记作 2nD ． 这样，就有递推关系式： 122n n nD D D． 因为已将原行列式的结果给出，我们可根据得到的递推关系式来证明这个结果是正确的． 当 1n 时， 1 2D ，结论正确．当 2n 时，2 21 312D ，结论正确． 设对 1kn≤ 的情形结论正确，往证 kn 时结论也正确． 由  122 2 1 1n n nD D D n n n       可知，对 n阶行列式结果也成立． 根据归纳法原理，对任意的正整数 n，结论成立． 分析 :此行列式的特点是：除主对角线及其上下两条对角线 的元素外，其余的元素都为零，这种行列式称“三对角”行列式 [1]。 从行列式的左上方往右下方看，即知 Dn1与 Dn具有相同的结构。 因此可考虑利用递推关系式计算。 行列式的计算方法研究 11 利用范德蒙行列式 根据行列式的特点，适当变形（利用行列式的性质 —— 如：提取公因式；互换两行（列）；一行乘以适当的数加到另一行（列）去； ...) 把所求行列式化成已知的或简单的形式。 其中范德蒙行列式就是一种。 这种变形法是计算行列式最常用的方法。 变形范德蒙行列式 例 1 计算行列式122 2 21 1 2 21 2 1 2 1 21 1 2 21 1 11 1 1nnnn n n n n nnnx x xD x x x x x xx x x x x x             解 把第 1行的－ 1 倍加到第 2行，把新的第 2行的－ 1倍加到第 3 行，以此类推直到把新的第 n－ 1行的－ 1倍加到第 n行，便得范德蒙行列式 122 2 21211 1 1121 1 1()nn i jn i jn n nnx x xD x x x x xx x x       例 2：计算 1n 阶行列式 1 2 2 11 1 1 1 1 1 1 11 2 2 12 2 2 2 2 2 2 21 2 2 11 1 1 1 1 1 1 1n n n n nn n n n nn n n n nn n n n n n n na a b a b。